Differentiation (Pure 3) · Dérivation (Pure 3)
| English | Français |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | dérivée |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | tangente inverse |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | règle de composition |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | paramétrique |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | règle du produit |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | réciproque |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | dérivation implicite |
The derivative 导数 that completes the circle
- You know the derivatives of $\sin$, $\cos$, $\tan$, $e^x$, and $\ln x$. Pure 3 adds one more: the inverse tangent 反正切.
- Together, these standard derivatives let you differentiate any combination of elementary functions.
La dérivée 导数 qui complète le cercle
- Vous connaissez les dérivées de $\sin$, $\cos$, $\tan$, $e^x$ et $\ln x$. Pure 3 ajoute une autre : l'arc tangente 反正切.
- Ensemble, ces dérivées standards vous permettent de dériver toute combinaison de fonctions élémentaires.
Review of Pure 2 methods
- The methods are those of Pure 2: the product, quotient and chain rules 链式法则, with parametric 参数 and implicit curves.
- These are the workhorses of differentiation — master them and you can handle any problem.
Worked example. $y = x^2 e^{3x}$. Product rule 乘积法则 with $u = x^2$, $v = e^{3x}$: $\dfrac{dy}{dx} = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2x + 3x^2)$.
z on an Argand diagram: modulus is the distance, argument the angle, conjugate the reflection
Revue des méthodes de Pure 2
- Les méthodes sont celles de Pure 2 : les règles du produit, du quotient et de la chaîne 链式法则, avec des courbes paramétriques 参数 et implicites.
- Ce sont les outils de base de la dérivation — maîtrisez-les et vous pourrez traiter n'importe quel problème.
Exemple résolu. $y = x^2 e^{3x}$. Règle du produit 乘积法则 avec $u = x^2$, $v = e^{3x}$ : $\dfrac{dy}{dx} = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2x + 3x^2)$.
z sur un diagramme d'Argand : le module est la distance, l'argument l'angle, le conjugué la réflexion
The gradient at a point · La pente en un point
gradient = dy/dx · pente = dy/dx
Implicit or not, the derivative is still the slope of the tangent · tangente — slide the point to see it. · Implícite ou non, la dérivée reste la pente de la tangente — faites glisser le point pour le voir.
Pure 3 differentiation still uses the product, quotient and chain rules from Pure 2. · La dérivation Pure 3 utilise toujours les règles du produit, du quotient et de la composition vues en Pure 2.
Those rules carry over; only the inverse-tangent derivative is new. · Ces règles se reportent ; seule la dérivée de l'arc tangente est nouvelle.
If y = x²e^(3x), then dy/dx = e^(3x)(2x + 3x²). At x = 0, dy/dx = ? · Si y = x²e^(3x), alors dy/dx = e^(3x)(2x + 3x²). En x = 0, dy/dx = ?
At x = 0: e⁰(0 + 0) = 1 × 0 = 0. · En x = 0 : e⁰(0 + 0) = 1 × 0 = 0.
The inverse tangent derivative
- One new standard derivative:
- This appears in integration (the reverse) and in related rates problems.
$\tan^{-1}x$ is NOT $\dfrac{1}{\tan x}$. The notation $\tan^{-1}x$ means the inverse function (arctan), not the reciprocal 倒数. The reciprocal is $\cot x$.
Dérivée de l'arc tangente
- Une nouvelle dérivée standard :
- Elle apparaît dans l'intégration (l'inverse) et dans les problèmes de taux liés.
$\tan^{-1}x$ n'est PAS $\dfrac{1}{\tan x}$. La notation $\tan^{-1}x$ désigne la fonction inverse (arctan), et non l'inverse réciproque 倒数. L'inverse réciproque est $\cot x$.
The derivative of tan⁻¹x is 1/(1+x²). What is its value at x = 1? · La dérivée de tan⁻¹x est 1/(1+x²). Quelle est sa valeur en x = 1 ?
1/(1 + 1²) = 1/2 = 0.5.
What is the derivative of tan⁻¹x at x = 0? · Quelle est la dérivée de tan⁻¹x en x = 0 ?
1/(1 + 0²) = 1/1 = 1.
tan⁻¹x means 1/tan x. · tan⁻¹x signifie 1/tan x.
tan⁻¹x is the inverse function (arctan), not the reciprocal. The reciprocal is cot x. · tan⁻¹x est la fonction inverse (arctan), et non la réciproque. La réciproque est cot x.
Implicit differentiation 隐函数微分 revisited
- For equations like $x^2 + y^2 = 25$, differentiate every term with respect to $x$.
- When you meet a $y$ term, apply the chain rule: $\dfrac{d}{dx}(y^2) = 2y\dfrac{dy}{dx}$.
- Then solve for $\dfrac{dy}{dx}$.
allow_no_figure: Review lesson consolidating Pure 2 differentiation methods (product, quotient, chain rules) with one new derivative — no new visual concepts introduced.
Différentiation implicite 隐函数微分 revisited
- Pour des équations comme $x^2 + y^2 = 25$, différenciez chaque terme par rapport à $x$.
- Lorsqu'un terme $y$ apparaît, appliquez la règle de la chaîne : $\dfrac{d}{dx}(y^2) = 2y\dfrac{dy}{dx}$.
- Ensuite, résolvez pour $\dfrac{dy}{dx}$.
allow_no_figure: Leçon de révision consolidant les méthodes de différentiation du Pure 2 (produit, quotient, chaîne) avec une nouvelle dérivée — aucun nouveau concept visuel introduit.
Worked example — implicit differentiation
- Find $\dfrac{dy}{dx}$ for $x^2 + xy + y^2 = 7$.
- Differentiate: $2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- Collect $\dfrac{dy}{dx}$ terms: $(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -(2x + y)$.
- $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$.
- Differentiate relations given implicitly or parametrically.
Exemple corrigé — différentiation implicite
- Trouvez $\dfrac{dy}{dx}$ pour $x^2 + xy + y^2 = 7$.
- Différenciez : $2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- Rassemblez les termes $\dfrac{dy}{dx}$ : $(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -(2x + y)$.
- $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$.
- Différenciez les relations données implicitemment ou paramétriquement.
When differentiating y² implicitly with respect to x, you get: · Lorsque vous dérivez y² implicitement par rapport à x, vous obtenez :
By the chain rule: d/dx(y²) = 2y · dy/dx. · Par la règle de composition : d/dx(y²) = 2y · dy/dx.
You've got it
- reuse the product / quotient / chain rules from Pure 2
- the new derivative: $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x = \dfrac{1}{1 + x^2}$
- still handle parametric and implicit curves the same way
Vous avez compris
- Réutilisez les règles du produit / quotient / chaîne du Pure 2
- la nouvelle dérivée : $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x = \dfrac{1}{1 + x^2}$
- traitez toujours les courbes paramétriques et implicites de la même manière