Integration (Pure 3) · Intégration (Pure 3)
| English | Français |
|---|---|
| standard integral/ˈstændəd ˈɪntɪɡrəl/ | intégrale standard |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | numérateur |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | dénominateur |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | les fractions partielles |
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | intégration par parties |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | intégration par substitution |
| change of variable/tʃeɪndʒ ɒv ˈveərɪəbl/ | changement de variable |
The integral that gives you angles
- You can integrate $\dfrac{1}{x^2+1}$ to get $\tan^{-1}x$ — a function that returns angles.
- This connection between algebra and geometry is one of the most beautiful results in calculus.
L'intégrale qui vous donne des angles
- Vous pouvez intégrer $\dfrac{1}{x^2+1}$ pour obtenir $\tan^{-1}x$ — une fonction qui retourne des angles.
- Ce lien entre algèbre et géométrie est l'un des résultats les plus beaux en calcul.
New standard integrals 标准积分
- A new standard integral: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- The pattern $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$ → $k\ln|f(x)| + C$, e.g. $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$.
Worked example. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 4}\,dx = \dfrac{1}{2}\tan^{-1}\dfrac{x}{2} + C$ (here $a = 2$).
Spot the pattern. $\displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$. The numerator 分子 must be (a multiple of) the derivative of the denominator 分母. If it's not, you need a different method.
The locus |z - a| = r is a circle of radius r centred at a
Nouvelles intégrales standards 标准积分
- Une nouvelle intégrale standard : $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- Le motif $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$ → $k\ln|f(x)| + C$, ex. : $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$.
Exemple corrigé. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 4}\,dx = \dfrac{1}{2}\tan^{-1}\dfrac{x}{2} + C$ (ici $a = 2$).
Repérez le motif. $\displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$. Le numérateur 分子 doit être (un multiple de) la dérivée du dénominateur 分母. Si ce n'est pas le cas, vous devez utiliser une autre méthode.
Le lieu |z - a| = r est un cercle de rayon r centré en a
The area under the curve · L'aire sous la courbe
area = ∫ f(x) dx · aire = ∫ f(x) dx
Every integration method just measures this area · aire — drag the limits to total it. · Chaque méthode d'intégration mesure simplement cette aire — faites glisser les limites pour l'additionner.
What is ∫ 2x/(x²+1) dx? · Quelle est la valeur de ∫ 2x/(x²+1) dx ?
The top is the derivative of the bottom (k f′/f form), so the integral is ln(x²+1) + C. · Le numérateur est la dérivée du dénominateur (forme k f′/f), donc l'intégrale est ln(x²+1) + C.
∫ 1/(x²+a²) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C.
This is a standard Pure 3 integral linked to the inverse-tangent derivative. · Ceci est une intégrale standard Pure 3 liée à la dérivée de l'arc tangente.
∫ 1/(x²+9) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C. What is a? · ∫ 1/(x²+9) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C. Quelle est la valeur de a ?
a² = 9, so a = 3. · a² = 9, donc a = 3.
∫ 1/(x²+1) dx = ln(x²+1) + C.
The numerator is NOT the derivative of the denominator. The correct integral is tan⁻¹x + C. · Le numérateur N'EST PAS la dérivée du dénominateur. L'intégrale correcte est tan⁻¹x + C.
Partial fractions 部分分式 for integration
- Partial fractions: split a rational function, then integrate each piece as a logarithm.
- Example: $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-1}\,dx = \int\left(\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}\right)dx = \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{2}\ln|x+1| + C$.
Fractions partielles 部分分式 pour l'intégration
- Fractions partielles : décomposer une fonction rationnelle, puis intégrer chaque partie sous forme de logarithme.
- Exemple : $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-1}\,dx = \int\left(\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}\right)dx = \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{2}\ln|x+1| + C$.
Integration by parts 分部积分
- Integration by parts (for a product): $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- Choose $u$ to be the part that simplifies when differentiated.
Intégration par parties 分部积分
- Intégration par parties (pour un produit) : $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- Choisissez $u$ comme étant la partie qui se simplifie lorsqu'elle est dérivée.
The integration-by-parts formula is ∫ u dv =: · La formule d'intégration par parties est ∫ u dv = :
Integration by parts: ∫ u dv = uv − ∫ v du. · Intégration par parties : ∫ u dv = uv − ∫ v du.
Integration by substitution 换元积分
- Integration by substitution: a change of variable 变量替换 turns a hard integral into an easy one.
- Let $u = g(x)$, then $du = g'(x)\,dx$, and rewrite the integral in terms of $u$.
allow_no_figure: Integration techniques (by parts, substitution, partial fractions) — the visual content is the algebraic manipulation, not a diagram.
- Integration is reverse differentiation.
Intégration par substitution 换元积分
- Intégration par substitution : un changement de variable 变量替换 transforme une intégrale difficile en une intégrale facile.
- Posons $u = g(x)$, alors $du = g'(x)\,dx$, et réécrivez l'intégrale en termes de $u$.
allow_no_figure: Techniques d'intégration (par parties, substitution, fractions partielles) — le contenu visuel est la manipulation algébrique, pas un schéma.
- L'intégration est une différentiation inversée.
Using substitution u = x²+1, evaluate ∫₀² 2x/(x²+1) dx (2 dp). · En utilisant la substitution u = x²+1, évaluez ∫₀² 2x/(x²+1) dx (arrondi à 2 décimales).
∫₀² 2x/(x²+1) dx = [ln(x²+1)]₀² = ln 5 − ln 1 = ln 5 ≈ 1.61.
You've got it
- $\displaystyle\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac1a\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$; $\displaystyle\int\frac{k f'(x)}{f(x)}dx = k\ln|f(x)| + C$
- by parts: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ (for products)
- by substitution: change the variable to simplify
Vous avez compris
- $\displaystyle\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac1a\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$; $\displaystyle\int\frac{k f'(x)}{f(x)}dx = k\ln|f(x)| + C$
- par parties : $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ (pour les produits)
- par substitution : changer la variable pour simplifier