Functions · Fonctions
| English | Français |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | fonction |
| domain/dəˈmeɪn/ | domaine |
| range/reɪndʒ/ | range |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | composition |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
| one-one/wʌn wʌn/ | un-à-un |
The vending machine test
- A vending machine takes one code and gives exactly one snack. If code A7 sometimes gives crisps and sometimes chocolate, it's broken.
- A function 函数 works the same way: each input maps to exactly one output. This simple rule underpins all of calculus.
Le test de la distribute automatique
- Une distribute automatique prend un code et donne exactement une collation. Si le code A7 donne parfois des chips et parfois du chocolat, elle est cassée.
- Une fonction 函数 fonctionne de la même manière : chaque entrée correspond à exactement une sortie. Cette règle simple fonde tout le calcul différentiel et intégral.
Functions, domain 定义域 and range 值域
- A function $f(x)$ sends each input to exactly one output.
- The domain = allowed inputs; the range = the outputs produced.
- Example: $f(x) = \sqrt{x}$ has domain $x \geq 0$ and range $f(x) \geq 0$.
Domain restrictions. $g(x) = \dfrac{1}{x-3}$ has domain $x \neq 3$ (division by zero is undefined). The range is all real numbers except $0$.
Fonctions, domaine 定义域 et image 值域
- Une fonction $f(x)$ associe à chaque entrée exactement une sortie.
- Le domaine = entrées autorisées ; l'image = les sorties produites.
- Exemple : $f(x) = \sqrt{x}$ a pour domaine $x \geq 0$ et pour image $f(x) \geq 0$.
Restraints sur le domaine. $g(x) = \dfrac{1}{x-3}$ a pour domaine $x \neq 3$ (la division par zéro est non définie). L'image est tous les nombres réels sauf $0$.
Explore a function · Explorer une fonction
y = ax³ + bx² + cx + d
A function turns each input · entrée into exactly one output · production — drag the coefficients and watch where the curve rises and · et falls. · Une fonction transforme chaque entrée en exactement une sortie — faites glisser les coefficients et observez où la courbe monte et descend.
The domain of f(x) = √(x − 4) is: · Le domaine de f(x) = √(x − 4) est :
The expression under the square root must be non-negative: x − 4 ≥ 0, so x ≥ 4. · L'expression sous la racine carrée doit être non négative : x − 4 ≥ 0, donc x ≥ 4.
Composition 复合 and inverses 反函数
- A function is one-one 一一对应 if different inputs always give different outputs — only then does it have an inverse $f^{-1}$.
- Composition $fg(x) = f(g(x))$ — do $g$ first, then $f$.
Composition 复合 et fonctions réciproques 反函数
- Une fonction est bijective 一一对应 si des entrées différentes donnent toujours des sorties différentes — seulement alors possède-t-elle une fonction réciproque $f^{-1}$.
- Composition $fg(x) = f(g(x))$ — faites $g$ d'abord, puis $f$.
If f(x) = x² and g(x) = x + 1, what is fg(2) = f(g(2))? · Si f(x) = x² et g(x) = x + 1, quelle est fg(2) = f(g(2)) ?
g(2) = 3, then f(3) = 3² = 9. · g(2) = 3, puis f(3) = 3² = 9.
Only a one-one function has an inverse function. · Seules les fonctions injectives ont une fonction inverse.
If two inputs gave the same output, the reverse rule would be ambiguous — so only one-one functions are invertible. · Si deux entrées donnaient la même sortie, la règle inverse serait ambiguë — seules les fonctions injectives sont inversibles.
Finding an inverse
- To find $f^{-1}$: write $y = f(x)$, make $x$ the subject, then swap letters.
- Example: $f(x) = 2x + 6$ → $x = \dfrac{y-6}{2}$ → $f^{-1}(x) = \dfrac{x-6}{2}$.
- The graph of $y = f^{-1}(x)$ is the reflection of $y = f(x)$ in the line $y = x$.
Inverse functions are reflections in $y = x$: the point $(a, b)$ on $f$ becomes $(b, a)$ on $f^{-1}$.
Not all functions have inverses. $f(x) = x^2$ is not one-one (both $2$ and $-2$ give $4$), so it has no inverse unless you restrict the domain to $x \geq 0$.
Trouver une réciproque
- Pour trouver $f^{-1}$ : écrire $y = f(x)$, exprimer $x$ comme sujet, puis inverser les lettres.
- Exemple : $f(x) = 2x + 6$ → $x = \dfrac{y-6}{2}$ → $f^{-1}(x) = \dfrac{x-6}{2}$.
- Le graphe de $y = f^{-1}(x)$ est la symétrie de $y = f(x)$ par rapport à la droite $y = x$.
Les fonctions inverses sont des réflexions dans $y = x$ : le point $(a, b)$ sur $f$ devient $(b, a)$ sur $f^{-1}$.
Toutes les fonctions n'ont pas de réciproque. $f(x) = x^2$ n'est pas bijective (les deux $2$ et $-2$ donnent $4$), donc elle n'a pas de réciproque sauf si on restreint le domaine à $x \geq 0$.
For f(x) = 2x + 6, the inverse is f⁻¹(x) = (x − 6)/2. What is f⁻¹(10)? · Pour f(x) = 2x + 6, l'inverse est f⁻¹(x) = (x − 6)/2. Quelle est f⁻¹(10) ?
f⁻¹(10) = (10 − 6)/2 = 4/2 = 2.
The graph of y = f⁻¹(x) is the reflection of y = f(x) in the line: · Le graphique de y = f⁻¹(x) est la réflexion de y = f(x) par rapport à la droite :
An inverse reflects the original graph in the line y = x; a point (a, b) becomes (b, a). · Un inverse reflète le graphique original dans la droite y = x ; un point (a, b) devient (b, a).
Properties of inverses
- $f(f^{-1}(x)) = x$ and $f^{-1}(f(x)) = x$ — they undo each other.
- The domain of $f^{-1}$ is the range of $f$, and vice versa.
- Graphically: swap the axes.
- Know the composition of functions $fg(x)$ and graph transformations — a translation, a stretch, and reflections.
Adding to the output or input slides the curve; a multiplier stretches it
Propriétés des réciproques
- $f(f^{-1}(x)) = x$ et $f^{-1}(f(x)) = x$ — elles s'annulent mutuellement.
- Le domaine de $f^{-1}$ est l'image de $f$, et vice versa.
- Graphiquement : inverser les axes.
- Connaître la composition de fonctions $fg(x)$ et tracer les transformations graphiques — une translation, un allongement, et des réflexions.
Ajouter à la sortie ou à l'entrée fait glisser la courbe ; un multiplicateur l'allonge
For any function f with an inverse, f(f⁻¹(x)) = x. · Pour toute fonction f admettant un inverse, f(f⁻¹(x)) = x.
Applying a function and then its inverse returns the original input — they undo each other. · Appliquer une fonction puis son inverse ramène à l'entrée initiale — elles s'annulent mutuellement.
You've got it
- function: each input → exactly one output; domain = inputs, range = outputs
- one-one functions have inverses; find $f^{-1}$ by swapping and solving
- composition $fg(x) = f(g(x))$ — do $g$ first, then $f$
- the graph of $f^{-1}$ is the reflection of $f$ in $y = x$
Vous avez compris
- fonction : chaque entrée → exactement une sortie ; domaine = entrées, image = sorties
- les fonctions bijectives ont des réciproques ; trouver $f^{-1}$ en inversant et en résolvant
- composition $fg(x) = f(g(x))$ — faire $g$ d'abord, puis $f$
- le graphe de $f^{-1}$ est la symétrie de $f$ par rapport à $y = x$