Coordinate geometry · Géométrie analytique
| English | Français |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | pente |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendiculaires |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | point milieu |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | médiatrice |
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangente |
The mathematics of location
- GPS satellites pinpoint your location to within a few metres using coordinate geometry.
- Every map, every blueprint, every computer graphic relies on the same core ideas: lines, circles, and the distances between points.
Les mathématiques de localisation
- Les satellites GPS localisent votre position à quelques mètres près grâce à la géométrie analytique.
- Chaque carte, chaque plan, chaque graphique informatique repose sur les mêmes idées fondamentales : droites, cercles et distances entre points.
Straight lines
- Gradient 斜率 of the line through $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Line equations: $y = mx + c$ (slope-intercept form), or $y - y_1 = m(x - x_1)$ (point-slope form).
- Parallel lines have equal gradients; perpendicular 垂直 lines have gradients that multiply to $-1$.
Worked example. Line through $(2, 3)$ and $(6, 11)$: $m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$. Equation: $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$.
Perpendicular gradient trap. If a line has gradient $2$, the perpendicular gradient is $-\dfrac{1}{2}$, not $-2$. You must flip the fraction and change the sign.
Droites droites
- Pente 斜率 de la droite passant par $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ : $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Équations de droites : $y = mx + c$ (forme pente-ordonnée à l'origine), ou $y - y_1 = m(x - x_1)$ (forme point-pente).
- Les droites parallèles ont des pentes égales ; les droites perpendiculaires 垂直 ont des pentes dont le produit est $-1$.
Exemple résolu. Droite passant par $(2, 3)$ et $(6, 11)$ : $m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$. Équation : $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$.
Piège de la pente perpendiculaire. Si une droite a une pente $2$, la pente perpendiculaire est $-\dfrac{1}{2}$, pas $-2$. Vous devez inverser la fraction et changer le signe.
The straight line · La droite
y = ax + b
The · Le gradient a tilts the line; the intercept b slides it up and down. · La pente a incline la droite ; l'ordonnée à l'origine b la déplace verticalement.
What is the gradient of the line through (2, 3) and (6, 11)? · Quelle est la pente de la droite passant par (2, 3) et (6, 11) ?
m = (11 − 3) / (6 − 2) = 8/4 = 2.
A line has gradient 2. What is the gradient of a line perpendicular to it? · Une droite a une pente de 2. Quelle est la pente d'une droite perpendiculaire ?
Perpendicular gradients multiply to −1, so the gradient is −1/2 = −0.5. · Les pentes de droites perpendiculaires ont pour produit −1, donc la pente est −1/2 = −0.5.
Midpoints 中点 and parallel lines
- The midpoint of $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ is $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
- The perpendicular bisector 垂直平分线 passes through the midpoint with the perpendicular gradient.
Milieux 中点 et droites parallèles
- Le milieu de $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ est $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
- La médiatrice 垂直平分线 passe par le milieu avec la pente perpendiculaire.
The midpoint of (2, 3) and (8, 7) has x-coordinate: · La coordonnée x du milieu de (2, 3) et (8, 7) est :
Midpoint x = (2 + 8)/2 = 5. · Milieu x = (2 + 8)/2 = 5.
Circles
- A circle, centre $(a, b)$, radius $r$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
- An expanded form (e.g. $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$) → complete the square in $x$ and $y$ to find the centre and radius.
The equation $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ describes a circle with centre $(3, -2)$ and radius $5$.
Cercles
- Un cercle, centre $(a, b)$, rayon $r$ : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
- Une forme développée (ex. $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$) → compléter le carré en $x$ et $y$ pour trouver le centre et le rayon.
L'équation $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ décrit un cercle de centre $(3, -2)$ et de rayon $5$.
The circle (x − 3)² + (y + 2)² = 25 has what radius? · Le cercle (x − 3)² + (y + 2)² = 25 a quel rayon ?
r² = 25, so r = 5; the centre is (3, −2). · r² = 25, donc r = 5 ; le centre est (3, −2).
The circle x² + y² − 6x + 10y − 27 = 0 has centre: · Le cercle x² + y² − 6x + 10y − 27 = 0 a pour centre :
Complete the square: (x−3)² + (y+5)² = 9 + 25 + 27 = 61. Centre is (3, −5). · Compléter le carré : (x−3)² + (y+5)² = 9 + 25 + 27 = 61. Le centre est (3, −5).
Tangents 切线 to circles
- A tangent touches the circle once and is perpendicular to the radius there.
- This right-angle fact solves most circle problems: find the radius gradient, then the tangent gradient is $-\dfrac{1}{m}$.
Tangentes 切线 aux cercles
- Une tangente touche le cercle une seule fois et est perpendiculaire au rayon à cet endroit.
- Ce fait de l'angle droit résout la plupart des problèmes de cercles : trouvez la pente du rayon, ensuite la pente de la tangente est $-\dfrac{1}{m}$.
A tangent to a circle is perpendicular to the radius at the point where it touches. · Une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.
This right-angle fact solves most circle problems. · Ce fait d'angle droit résout la plupart des problèmes sur les cercles.
You've got it
- gradient $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$; perpendicular gradients multiply to $-1$
- circle: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, centre $(a,b)$, radius $r$
- a tangent is perpendicular to the radius at the point of contact
- midpoint $= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
Vous avez compris
- pente $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ; les pentes perpendiculaires multipliées font $-1$
- cercle : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, centre $(a,b)$, rayon $r$
- une tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact
- milieu $= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$