Matrices (Further Pure 2)
| English | Français |
|---|---|
| stretch/stretʃ/ | étirement |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | vecteur propre |
| eigenvalue/ˈaɪdʒənvæljuː/ | valeur propre |
| diagonalisation/daɪˌæɡənəlaɪˈzeɪʃn/ | diagonalisation |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | équation matricielle |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | équation caractéristique |
| scalar/ˈskeɪlə/ | scalaire |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | matrice diagonale |
The hidden directions in a matrix
- Every matrix transforms space. Some directions are special: the matrix only stretches 拉伸 them, without rotating. These are the eigenvectors 特征向量, and the stretch factors are the eigenvalues 特征值.
- Eigenvalues unlock the structure of a matrix — they're the key to diagonalisation 对角化, stability analysis, and Google's PageRank algorithm.
Les directions cachées dans une matrice
- Toute matrice transforme l'espace. Certaines directions sont spéciales : la matrice ne fait que les étirer 拉伸, sans rotation. Ce sont les vecteurs propres 特征向量, et les facteurs d'étirement sont les valeurs propres 特征值.
- Les valeurs propres dévoilent la structure d'une matrice — elles sont la clé de la diagonalisation 对角化, de l'analyse de stabilité et de l'algorithme PageRank de Google.
Matrix equations 矩阵方程
- Three linear equations in three unknowns → a matrix equation $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. A non-singular $A$ gives one unique solution: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.
Worked example. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. Solving: $2x + y = 5$ and $x + 3y = 7$. Solution: $x = \dfrac{8}{5}$, $y = \dfrac{9}{5}$.
An eigenvector keeps its direction under the matrix; a general vector is turned
Équations matricielles 矩阵方程
- Trois équations linéaires à trois inconnues → une équation matricielle $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Une matrice $A$ non singulière donne une solution unique : $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.
Exemple résolu. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. Résolution : $2x + y = 5$ et $x + 3y = 7$. Solution : $x = \dfrac{8}{5}$, $y = \dfrac{9}{5}$.
Un vecteur propre conserve sa direction sous la matrice ; un vecteur général est tourné
Matrices (Further Pure 2)
(x', y') = M(x, y)
Rotations, reflections and shears are all matrices — read them off the transformed basis vectors. · Les rotations, réflexions et cisaillements sont toutes des matrices — lisez-les sur les vecteurs de base transformés.
Eigenvalues and eigenvectors
- The characteristic equation 特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ gives the eigenvalues $\lambda$.
- For each $\lambda$, the eigenvector $\mathbf{v}$ satisfies $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
- Multiplying an eigenvector by $A$ only stretches it (by factor $\lambda$), without changing its direction.
Eigenvectors are not unique. If $\mathbf{v}$ is an eigenvector, so is $k\mathbf{v}$ for any non-zero scalar 标量 $k$. We usually choose the simplest form (smallest integers).
Valeurs et vecteurs propres
- L'équation caractéristique 特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ donne les valeurs propres $\lambda$.
- Pour chaque $\lambda$, le vecteur propre $\mathbf{v}$ satisfait $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
- Multiplier un vecteur propre par $A$ ne fait que l'étirer (d'un facteur $\lambda$), sans changer sa direction.
Les vecteurs propres ne sont pas uniques. Si $\mathbf{v}$ est un vecteur propre, alors $k\mathbf{v}$ l'est aussi pour tout scalaire non nul $k$. On choisit généralement la forme la plus simple (plus petits entiers).
The matrix [[2,1],[1,2]] has characteristic equation (2−λ)² − 1 = 0, giving λ = 1 or λ = 3. What is the larger eigenvalue? · La matrice [[2,1],[1,2]] a pour équation caractéristique (2−λ)² − 1 = 0, donnant λ = 1 ou λ = 3. Quelle est la plus grande valeur propre ?
(2−λ)² = 1 → 2−λ = ±1 → λ = 1 or 3; the larger is 3. · (2−λ)² = 1 → 2−λ = ±1 → λ = 1 ou 3 ; la plus grande est 3.
The eigenvalues of a matrix A are found by solving: · Les valeurs propres d'une matrice A se trouvent en résolvant :
The characteristic equation det(A − λI) = 0 gives the eigenvalues. · L'équation caractéristique det(A − λI) = 0 donne les valeurs propres.
Multiplying an eigenvector by A only stretches it (Av = λv). · Multiplier un vecteur propre par A ne fait que l'étirer (Av = λv).
An eigenvector keeps its direction; A just scales it by the eigenvalue λ. · Un vecteur propre conserve sa direction ; A le met simplement à l'échelle par la valeur propre λ.
If v is an eigenvector of A, then 2v is also an eigenvector of A. · Si v est un vecteur propre de A, alors 2v est aussi un vecteur propre de A.
Eigenvectors are not unique — any non-zero scalar multiple of an eigenvector is also an eigenvector. · Les vecteurs propres ne sont pas uniques — tout multiple scalaire non nul d'un vecteur propre est aussi un vecteur propre.
Diagonalisation
- You can write $A = QDQ^{-1}$, where $D$ is a diagonal matrix 对角矩阵 of eigenvalues and the columns of $Q$ are the eigenvectors.
- This makes computing $A^n$ easy: $A^n = QD^nQ^{-1}$, and $D^n$ is just the diagonal entries raised to the $n$th power.
Diagonalisation
- On peut écrire $A = QDQ^{-1}$, où $D$ est une matrice diagonale 对角矩阵 des valeurs propres et les colonnes de $Q$ sont les vecteurs propres.
- Cela rend le calcul de $A^n$ facile : $A^n = QD^nQ^{-1}$, et $D^n$ est simplement les entrées diagonales élevées à la puissance $n$.
In the diagonalisation A = QDQ⁻¹, the matrix D contains: · Dans la diagonalisation A = QDQ⁻¹, la matrice D contient :
D is a diagonal matrix with the eigenvalues of A on its main diagonal. · D est une matrice diagonale avec les valeurs propres de A sur sa diagonale principale.
If A = QDQ⁻¹, then A³ = QD³Q⁻¹. If D has diagonal entries 1 and 3, D³ has diagonal entries 1 and ? · Si A = QDQ⁻¹, alors A³ = QD³Q⁻¹. Si D a des éléments diagonaux 1 et 3, D³ a des éléments diagonaux 1 et ?
D³ has diagonal entries 1³ = 1 and 3³ = 27. · D³ a des éléments diagonaux 1³ = 1 et 3³ = 27.
Worked example
- $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Characteristic equation: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ or $3$.
- For $\lambda = 1$: eigenvector $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. For $\lambda = 3$: eigenvector $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
- A matrix with zero determinant has a singularity (it is singular and has no inverse).
Exemple résolu
- $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Équation caractéristique : $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ ou $3$.
- Pour $\lambda = 1$ : vecteur propre $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Pour $\lambda = 3$ : vecteur propre $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
- Une matrice de déterminant nul a une singularité (elle est singulière et n'a pas d'inverse).
You've got it
- eigenvalues solve $\det(A - \lambda I) = 0$; eigenvectors satisfy $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$
- multiplying an eigenvector by $A$ only stretches it
- diagonalise: $A = QDQ^{-1}$ (D = eigenvalues, Q's columns = eigenvectors)
Vous avez compris
- les valeurs propres résolvent $\det(A - \lambda I) = 0$ ; les vecteurs propres satisfont $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$
- multiplier un vecteur propre par $A$ ne fait que l'étirer
- diagonaliser : $A = QDQ^{-1}$ (D = valeurs propres, colonnes de Q = vecteurs propres)