Differentiation (Further Pure 2) · Différentiation (Further Pure 2)
| English | Français |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polynomiale |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | Séries de Maclaurin |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | la différentiation |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | hyperbolique |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | coefficient |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | intervalle de convergence |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | divergent |
How does a calculator find eˣ?
- Your calculator can't "do" $e^{0.7}$ directly — there's no button-press that knows it.
- Instead it adds up a few terms of a polynomial 多项式 that mimics $e^x$ near zero.
- That polynomial is a Maclaurin series 麦克劳林级数 — and building one starts with repeated differentiation 微分.
Comment une calculatrice trouve eˣ ?
- Votre calculatrice ne peut pas "faire" $e^{0.7}$ directement — il n'y a pas de bouton qui le connaisse.
- Elle additionne plutôt quelques termes d'un polynôme 多项式 qui imite $e^x$ près de zéro.
- Ce polynôme est une série de Maclaurin 麦克劳林级数 — et en construire une commence par des dérivations répétées 微分.
New derivatives to know
- Further Pure 2 adds derivatives of the hyperbolic 双曲 and inverse functions:
| function | derivative |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- You can also find $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ for implicit and parametric curves.
Each extra Maclaurin term hugs e^x over a wider range
Nouvelles dérivées à connaître
- Further Pure 2 ajoute les dérivées des fonctions hyperboliques 双曲 et réciproques :
| fonction | dérivée |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- Vous pouvez aussi trouver $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ pour des courbes implicites et paramétriques.
Chaque terme de Maclaurin supplémentaire épouse e^x sur une plage plus large
The gradient at a point · La pente en un point
gradient = dy/dx · pente = dy/dx
The · Le derivative is the slope of the tangent · tangente, however exotic the function. · La dérivée est la pente de la tangente, quelle que soit l'exoticité de la fonction.
The derivative of sinh x is: · La dérivée de sinh x est :
d/dx(sinh x) = cosh x (and d/dx(cosh x) = sinh x). · d/dx(sinh x) = cosh x (et d/dx(cosh x) = sinh x).
The derivative of tan⁻¹x is 1/(1+x²). What is its value at x = 0? · La dérivée de tan⁻¹x est 1/(1+x²). Quelle est sa valeur en x = 0 ?
1/(1+0²) = 1.
Match each function to its derivative. · Reliez chaque fonction à sa dérivée.
The hyperbolic pair swap (no minus sign, unlike sin/cos); the inverse trig derivatives are the standard rational/surd forms. · L'échange hyperbolique (pas de signe moins, contrairement à sin/cos) ; les dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont les formes rationnelles/radicales standards.
Maclaurin's series
- A Maclaurin series rebuilds a function as an infinite polynomial using its derivatives at $0$:
- Each coefficient 系数 needs the next derivative, evaluated at $x = 0$.
Série de Maclaurin
- Une série de Maclaurin reconstruit une fonction comme un polynôme infini en utilisant ses dérivées en $0$ :
- Chaque coefficient 系数 nécessite la dérivée suivante, évaluée en $x = 0$.
In a Maclaurin series, the constant term is f(0). For f(x) = eˣ, what is f(0)? · Dans une série de Maclaurin, le terme constant est f(0). Pour f(x) = eˣ, quelle est f(0) ?
e⁰ = 1, so the constant term is 1. · e⁰ = 1, donc le terme constant est 1.
In the Maclaurin series, the coefficient of xⁿ has n-factorial (written n!) in the ______. · Dans la série de Maclaurin, le coefficient de xⁿ contient n-factoriel (écrit n!) dans le ______.
The xⁿ term is f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ — the n! is in the denominator. · Le terme xⁿ est f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ — le n! est au dénominateur.
Worked example — the series for eˣ
- For $f(x) = e^x$, every derivative is $e^x$, and $e^0 = 1$. So every coefficient is $\dfrac{1}{n!}$:
Each extra term bends the polynomial closer to $e^x$ near $x = 0$ — exactly how a calculator works.
More standard series. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ and $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (valid for $|x| < 1$).
Exemple résolu — la série pour eˣ
- Pour $f(x) = e^x$, toutes les dérivées sont $e^x$, et $e^0 = 1$. Donc chaque coefficient est $\dfrac{1}{n!}$ :
Chaque terme supplémentaire courbe le polynôme plus près de $e^x$ près de $x = 0$ — exactement comment fonctionne une calculatrice.
Autres séries standards. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ et $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (valables pour $|x| < 1$).
The Maclaurin series of eˣ begins: · La série de Maclaurin de eˣ commence par :
eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
Where the series is valid
- A Maclaurin series only matches the function within its interval of convergence 收敛区间.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ converge for all $x$; but $\ln(1+x)$ only for $-1 < x \leq 1$.
Check convergence before you trust it. Far outside the valid interval the polynomial diverges 发散 wildly from the function — more terms make it worse, not better.
- Differentiate hyperbolic functions and inverse functions, and relations given implicitly or parametrically.
Domaine de validité de la série
- Une série de Maclaurin ne correspond à la fonction que dans son intervalle de convergence 收敛区间.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ convergent pour toutes $x$ ; mais $\ln(1+x)$ uniquement pour $-1 < x \leq 1$.
Vérifiez la convergence avant de faire confiance. Très loin de l'intervalle valide, le polynôme diverge 发散 wildly de la fonction — plus de termes la rendent pire, pas meilleure.
- Dérivez les fonctions hyperboliques et réciproques, et les relations données implicitement ou paramétriquement.
The Maclaurin series for ln(1+x) is valid for every value of x. · La série de Maclaurin pour ln(1+x) est valide pour toute valeur de x.
It only converges for −1 < x ≤ 1; outside that interval it diverges. · Elle converge uniquement pour −1 < x ≤ 1 ; en dehors de cet intervalle, elle diverge.
You've got it
- new derivatives: $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Maclaurin: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — more terms fit better, within the interval of convergence
Vous avez compris
- nouvelles dérivées : $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Maclaurin : $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — plus de termes s'ajustent mieux, dans l'intervalle de convergence