Mathématiques Supérieures A-Level

Pour une équation polynomiale, les racines 根 sont liées aux coefficients 系数. Pour $ax^2 + bx + c = 0$ avec racines $\alpha, \beta$ :

Pour un polynôme $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ avec racines $\alpha, \beta, \gamma$ : Les sommes comme $\sum\alpha$ et $\sum\alpha\beta$ sont des fonctions symétriques 对称函数 des racines (inchangées si les racines sont permutées). Pour trouver une équation dont les racines changent simplement, utiliser une substitution 代换 (par exemple, poser $w = \alpha + 1$).

Exemple résolu. L'équation $x^2 - 5x + 6 = 0$ a pour racines $\alpha, \beta$. Trouver l'équation ayant pour racines $\alpha + 1, \beta + 1$.

Ici $\alpha + \beta = 5$ et $\alpha\beta = 6$. La nouvelle somme est $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, et le nouveau produit est $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. Donc la nouvelle équation est

Une fonction rationnelle 有理函数 est une fraction de deux polynômes. Lorsque le numérateur a exactement un degré de plus que le dénominateur, le graphe possède une asymptote oblique 斜渐近线 (une ligne inclinée vers laquelle la courbe tend) ; on la trouve en effectuant la division. Vous devriez également savoir relier le graphe de $y = f(x)$ à ceux de $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ et $y = f(|x|)$. Trouver l'ensemble des valeurs prises par la fonction à l'aide du discriminant 判别式, et localiser ses points stationnaires 驻点.

Exemple résolu. Trouver l'asymptote oblique de $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.

Effectuer la division de la fraction : $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. Quand $x \to \pm\infty$, le reste $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, donc la courbe tend vers la droite $y = x$ — l'asymptote oblique.

Apprendre les résultats standards :

La méthode des différences 差分法 somme une série en annulant les termes intermédiaires : si on écrit chaque terme sous forme de fractions partielles 部分分式 $f(r) - f(r+1)$, presque tout s'annule. À partir de la somme des $n$ premiers termes, on peut déterminer si une série est convergente 收敛 et, si tel est le cas, trouver sa somme à l'infini 无穷和.

Exemple résolu. Trouver $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.

Une matrice 矩阵 est un bloc rectangulaire de nombres. L'addition matricielle additionne les entrées correspondantes ; on peut aussi soustraire et multiplier des matrices (la multiplication se fait ligne ⟨$\times$⟩ colonne). La matrice nulle 零矩阵 a toutes ses entrées égales à $0$, et la matrice identité 单位矩阵 (ou matrice unité) $I$ laisse toute matrice inchangée lors d'une multiplication.

Pour une matrice $2\times 2$ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, le déterminant 行列式 est $\det A = ad - bc$. Si $\det A \neq 0$, la matrice est non singulière (sinon c'est une matrice singulière 奇异矩阵), et la matrice inverse 逆matrice est

Pour un produit, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. Une matrice $2\times 2$ peut représenter une transformation géométrique 几何变换 du plan — une rotation 旋转, une réflexion 反射, une agrandissement 放大, un étirement 拉伸 ou un cisaillement 切变 : le déterminant donne le facteur d'échelle des aires, et un produit $AB$ signifie « faire $B$, puis $A$ ». Les points ou droites qui ne bougent pas sont appelés points invariants 不变点 et droites invariantes 不变直线.

Exemple résolu. Trouver l'inverse de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.

$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, donc

Les coordonnées polaires 极坐标 définissent un point par sa distance $r$ à l'origine et son angle $\theta$. Elles sont liées aux coordonnées cartésiennes 直角坐标 par

Vous devez pouvoir dessiner de simples courbes polaires 极坐标曲线, et trouver l'aire d'un secteur avec

Exemple résolu. Convertir l'équation polaire $r = 4\cos\theta$ en forme cartésienne.

Multiplier les deux côtés par $r$ : $r^2 = 4r\cos\theta$, donc $x^2 + y^2 = 4x$. En complétant le carré, on obtient $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, un cercle de rayon $2$ centré en $(2, 0)$.

En trois dimensions, un plan 平面 peut s'écrire $ax + by + cz = d$, ou $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, ou $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Outre le produit scalaire, il existe le produit vectoriel 向量积 de deux vecteurs 向量 :

qui donne un vecteur perpendiculaire aux deux. Avec les produits scalaire et vectoriel, on peut trouver des distances, des angles et l'intersection de droites et de plans — y compris la distance minimale entre des droites gauches 异面直线.

Exemple résolu. Trouver $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ pour $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ et $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.

L'induction mathématique 数学归纳法 prouve un résultat pour tout entier positif $n$ en deux étapes :

1. Cas de base : montrer que le résultat est vrai pour $n = 1$.
2. Étape inductive : supposer qu'il est vrai pour $n = k$, puis le prouver pour $n = k + 1$.

Si les deux étapes fonctionnent, le résultat est vrai pour tous les $n$. Souvent, on formule d'abord une conjecture 猜想 (un essai raisonnable) à partir de quelques cas, puis on la confirme par une démonstration inductive 归纳证明.

Exemple résolu. Prouver que $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.

Cas de base $n = 1$ : le côté gauche est $1$ et le côté droit est $\tfrac12(1)(2) = 1$. Vrai. Étape inductive : supposons que $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Alors

C'est la formule avec $n = k + 1$, donc par récurrence, elle est valide pour tous les $n$.

• Utiliser les relations entre racines et coefficients (somme, somme des paires, produit) plutôt que de résoudre le polynôme.
• Pour la démonstration par récurrence, présenter le cas de base, supposer le résultat pour $n = k$, le prouver pour $n = k+1$, et rédiger une conclusion claire.
• Dessiner les graphes de fonctions rationnelles avec leurs asymptotes et points stationnaires ; utiliser la méthode des différences pour une sommation.
• Pour les matrices, connaître le déterminant, l'inverse et les droites invariantes, et interpréter géométriquement chaque transformation.

Les fonctions hyperboliques 双曲函数 sont construites à partir de la fonction exponentielle :

Elles vérifient des identités similaires aux trigonométriques, la principale étant $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Les trois réciproques complètent l'ensemble : $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$ et $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ – tous construits à partir de $e^x$ aussi, et utiles à reconnaître dans les intégrales et les barèmes. Les fonctions hyperboliques inverses 反双曲函数 ont une forme logarithmique 对数形式, par exemple $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.

Exemple résolu. Montrer que $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.

On peut écrire trois équations linéaires à trois inconnues sous la forme d'une seule équation matricielle 矩阵方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Si $A$ est non singulière, il y a une solution ; si $A$ est singulière, les équations sont soit incohérentes (pas de solution), soit admettent une infinité de solutions.

Pour une matrice carrée $A$, l'équation caractéristique 特征方程 est $\det(A - \lambda I) = 0$. Ses solutions sont les valeurs propres 特征值 $\lambda$, et pour chacune d'elles, le vecteur $\mathbf{v}$ vérifiant $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ est un vecteur propre 特征向量. On peut alors écrire $A = QDQ^{-1}$, où $D$ est une matrice diagonale 对角矩阵 des valeurs propres et les colonnes de $Q$ sont les vecteurs propres.

Exemple résolu. Trouver les valeurs propres de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

L'équation caractéristique est

Donc $\lambda = 1$ ou $\lambda = 3$. (Le vecteur propre pour $\lambda = 3$ est $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et celui pour $\lambda = 1$ est $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.)

Vous pouvez maintenant dériver les fonctions hyperboliques et les fonctions inverses $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$, etc. Vous pouvez aussi trouver $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ pour des courbes données implicitement ou paramétriquement.

Une série de Maclaurin 麦克劳林级数 écrit une fonction comme une série entière :

Par exemple $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$

Exemple résolu. Trouver la série de Maclaurin de $f(x) = \ln(1+x)$ jusqu'au terme en $x^3$.

$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ donc $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ donc $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ donc $f'''(0) = 2$. En substituant dans la série :

Apprenez ces intégrales standards :

Une substitution trigonométrique, une substitution hyperbolique ou la méthode de complétion du carré 配方法 au dénominateur gère les formes associées. Une formule de réduction 递推公式 relie une intégrale $I_n$ à $I_{n-1}$, ce qui vous permet de descendre étape par étape. L'intégration donne aussi la longueur d'arc 弧长 d'une courbe et l'aire de surface de révolution 旋转曲面面积 lorsque la courbe est tournée autour d'un axe.

Exemple résolu. Trouver $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.

Ici $a^2 = 4$, donc $a = 2$ et

Majorer une somme par une intégrale. Dessiner des rectangles de largeur unité sous ou au-dessus d'une courbe décroissante comme $y=\frac1x$. Chaque rectangle de hauteur $\frac1r$ est compris entre deux bandes d'intégrale, donc en sommant on obtient

Réduire la largeur du rectangle vers $\frac1n\to 0$ transforme une telle somme en une somme de Riemann 黎曼和 qui égale l'intégrale à la limite, ex. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{r=1}^{n}f\!\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$.

Un nombre complexe 复数 sous forme polaire est $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. Le thorème de De Moivre 棣莫弗定理 dit que pour tout entier $n$,

Il est utilisé pour développer $\cos n\theta$ et $\sin n\theta$ en puissances, pour sommer des séries, et pour trouver les $n$ racines de l'unité 单位根 (les solutions de $z^n = 1$, régulièrement espacées autour du cercle unité).

Exemple résolu. Utiliser le théorème de De Moivre pour exprimer $\cos 3\theta$ en fonction de $\cos\theta$.

Prendre la partie réelle de $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$ :

Pour une équation linéaire du premier ordre $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiplier par le facteur intégrant 积分因子 $\mu = e^{\int P\,dx}$. Le côté gauche devient alors $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, donc on peut intégrer directement.

Pour une équation linéaire à coefficients constants, la solution générale 通解 est la somme de deux parties : la fonction complémentaire 余函数 (la solution de l'équation où le second membre est mis à $0$, trouvée via l'équation auxiliaire) et une intégrale particulière 特积分 (n'importe quelle solution de l'équation complète). Les conditions initiales fixent ensuite les constantes pour donner la solution particulière 特解 ; les équations plus simples à variables séparables 可分离变量 sont intégrées directement.

Exemple résolu. Résoudre $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.

Le facteur intégrant est $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. En multipliant, on obtient $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, donc

Second ordre, coefficients constants. Pour $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$, résoudre l'équation auxiliaire 辅助方程 $m^2+bm+c=0$. La fonction complémentaire dépend de ses racines :

• deux racines réelles distinctes $m_1,m_2$ : $y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$;
• une racine double $m$ : $y=(A+Bx)e^{mx}$;
• racines complexes $p\pm qi$ : $y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$.

Ensuite ajouter une intégrale particulière en essayant une forme correspondant à $f(x)$ (un polynôme, $ae^{bx}$, ou $a\cos px+b\sin px$) ; si cette tentative apparaît déjà dans la fonction complémentaire, multiplier par $x$.

Exemple résolu. Résoudre $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. L'équation auxiliaire $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ a une racine double $m=2$, donc $y=(A+Bx)e^{2x}$.

• Apprendre les identités hyperboliques et leurs dérivées, et utiliser les fonctions hyperboliques inverses dans l'intégration.
• Résoudre une équation différentielle linéaire comme fonction complémentaire $+$ intégrale particulière, puis appliquer les conditions aux limites.
• Utiliser le théorème de De Moivre pour les puissances et racines de nombres complexes et pour dériver des identités trigonométriques.
• Réduire une intégrale à une forme standard par une substitution spécifiée.

Un projectile 抛射体 se déplace librement sous l'effet de la gravité, il a donc une accélération constante 匀加速 $g$ vers le bas et aucune accélération horizontale. Traitez les mouvements horizontal et vertical séparément. S'il est lancé à une vitesse $u$ et un angle $\alpha$ :

En éliminant $t$, on obtient l'équation cartésienne 直角坐标方程 de la trajectoire 轨迹 (le chemin), qui est une parabole. Pour une vitesse de lancement fixe, toutes les trajectoires sont sous une parabole enveloppe 包络抛物线 (l'enveloppe des points atteignables). La portée sur sol plat est $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ et la hauteur maximale est $\dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$.

Exemple résolu. Une balle est lancée à $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ à $30^\circ$ par rapport à l'horizontale. Trouver la portée et la hauteur maximale.

Le moment 力矩 d'une force par rapport à un point est force $\times$ distance perpendiculaire ; il mesure l'effet de rotation. Le poids d'un corps agit à son centre de masse 质心, que vous pouvez trouver en utilisant la symétrie 对称 pour une forme plane uniforme (une lamelle 薄片), ou en traitant un corps composite comme un ensemble de particules.

Un corps rigide soumis à des forces coplanaires 共面力 est en équilibre 平衡 quand deux conditions sont remplies simultanément : la somme vectorielle des forces est nulle, et la somme des moments par rapport à n'importe quel point est nulle. Un corps peut aussi être au bord du basculement 翻倒 (renversement) ou du glissement 滑动 (dérapage).

Exemple résolu. Une poutre uniforme $AB$ de longueur $4\ \text{m}$ et de poids $100\ \text{N}$ repose sur un pivot à $A$. Une force verticale $F$ à $B$ la maintient horizontale. Trouver $F$.

Prendre les moments par rapport à $A$ (le poids agit au centre, $2\ \text{m}$ de $A$) :

Pour une particule se déplaçant dans un cercle de rayon $r$, la vitesse angulaire 角速度 $\omega$ est liée à la vitesse par $v = r\omega$. L'accélération pointe vers le centre — l'accélération centripète 向心加速度 — avec une grandeur

Dans un cercle horizontal 水平圆 la vitesse est constante — comme dans un pendule conique 圆锥摆 (une masse suspendue à une corde). Dans un cercle vertical 竖直圆 utiliser la conservation de l'énergie, car la vitesse change avec la hauteur ; la force normale de contact 法向接触力 ou la tension du cordon fournit la force centripète.

Exemple résolu. Une particule se déplace dans un cercle horizontal de rayon $2\ \text{m}$ avec une vitesse angulaire $3\ \text{rad s}^{-1}$. Trouver sa vitesse et son accélération.

La loi de Hooke 胡克定律 stipule que la tension dans un cordon élastique ou un ressort est proportionnelle à son allongement $x$ :

où $L$ est la longueur naturelle et $\lambda$ est le module d'élasticité 弹性模que. Étirer stocke de l'énergie potentielle élastique 弹性势能 :

Exemple résolu. Un cordon élastique de longueur naturelle $2\ \text{m}$ et de module $50\ \text{N}$ est étiré de $0.5\ \text{m}$. Trouver la tension et l'énergie stockée.

Quand la force dépend de la position $x$, utiliser l'accélération sous la forme $a = v\dfrac{dv}{dx}$, ce qui transforme la loi de Newton en une équation différentielle 微分方程 reliant $v$ et $x$.

Exemple résolu. Une particule de masse $8\ \text{kg}$ se déplace le long d'une ligne sous l'effet d'une force variable 变力 de magnitude $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ agissant dans la direction du mouvement. Lorsque $x = 0$, $v = 1$. Trouvez $v$ en fonction de $x$.

La loi de Newton donne $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Séparer et intégrer :

À $x = 0$, $v = 1$ donne $C = 4$, donc $4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + 4 = 4\left(\tfrac{x^2}{4} + 1\right)^2$. D'où $v = \tfrac14 x^2 + 1$.

Lors d'une collision, la quantité de mouvement linéaire totale est conservée — la conservation de la quantité de mouvement linéaire 动量守恒. L'élasticité est mesurée par la loi expérimentale de Newton 牛顿实验定律, qui définit le coefficient de restitution 恢复系数 $e$ :

Ici $e = 1$ correspond à une collision parfaitement élastique (aucune perte d'énergie) et $e = 0$ à une collision inélastique (les corps restent collés). Dans un choc oblique 斜碰撞, décomposez les vitesses selon et perpendiculairement à la ligne de choc, en appliquant la restitution le long de celle-ci.

Exemple résolu. Une sphère $A$ de masse $2\ \text{kg}$ se déplaçant à $5\ \text{m s}^{-1}$ percute une sphère immobile $B$ de masse $3\ \text{kg}$, avec $e = 0.5$. Trouvez les vitesses finales.

Quantité de mouvement : $2(5) = 2v_A + 3v_B$, donc $2v_A + 3v_B = 10$. Restitution : $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Résoudre ensemble donne $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ et $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.

• Pour les projectiles, décomposez en mouvement horizontal (vitesse constante) et vertical ($a = g$), liés par le même temps.
• Pour un corps rigide en équilibre, faites des moments par rapport à un point qui annule une force inconnue.
• Pour le mouvement circulaire, utilisez $F = mv^2/r = m\omega^2 r$ vers le centre ; dans un cercle vertical, vérifiez la vitesse minimale au sommet.
• Avec une force variable, utilisez $a = v\,\frac{dv}{dx}$ et intégrez ; l'énergie potentielle élastique $= \frac{\lambda x^2}{2L}$.

Une variable continue $X$ est décrite par une fonction de densité de probabilité 概率密度函数 $f(x)$, qui peut être définie par morceaux. La probabilité sur un intervalle est l'aire sous $f$, et la moyenne de toute fonction de $X$ est

La fonction de répartition 累积分布函数 $F(x) = P(X \leqslant x)$ est le cumul : $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, et $f(x) = F'(x)$. Utilisez $F$ pour trouver des probabilités et les percentiles 百分位数 (par exemple, la médiane 中位数 résout $F(x) = 0.5$).

Exemple résolu. Une variable a $f(x) = \tfrac12 x$ pour $0 \leqslant x \leqslant 2$. Trouvez la médiane.

La fonction de répartition est $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. Poser $F(m) = 0.5$ :

La distribution d'une variable liée. Oui $Y=g(X)$, trouvez la distribution de $Y$ via sa fonction de répartition. Pour $Y=X^2$ : $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, puis dériver pour obtenir $f_Y=F_Y'$. Quand $g$ est strictement croissante, il y a un raccourci, $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.

Exemple résolu. Avec $f_X(x)=\tfrac12 x$ sur $[0,2]$ (donc $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), posons $Y=X^2$. Pour $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, donc $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – c'est-à-dire, $Y$ est uniforme sur $[0,4]$.

Quand l'échantillon est petit et la variance de la population inconnue, basez votre test d'hypothèse 假设检验 sur la distribution $t$ plutôt que sur la normale. La même idée donne un intervalle de confiance 置信区间 pour la moyenne :

où $t$ vient des tables $t$ avec $n - 1$ degrés de liberté. Pour comparer deux populations, utilisez un test $t$ à deux échantillons (2-sample) ou paires appariées, après avoir trouvé une estimation poolée 合并估计 de la variance commune si pertinent.

Exemple résolu. Un échantillon de $n = 10$ a une moyenne $\bar{x} = 50$ et un écart-type $s = 4$. Trouvez un intervalle de confiance $95\%$ pour la moyenne (utilisez $t = 2.262$ pour $9$ degrés de liberté).

Un test $\chi^2$ (test du chi-deux 卡方检验) compare les effectifs observés $O$ aux effectifs attendus $E$ issus d'une distribution théorique 理论分布 :

Comparez cela avec une valeur de tableau pour le bon nombre de degrés de liberté 自由度. Deux usages : un test d'adéquation 拟合优度 (les données suivent-elles le modèle proposé ?), et un test d'indépendance 独立性 de deux variables dans un tableau de contingence 列联表.

Exemple résolu. Quatre catégories également probables donnent des effectifs observés $20, 30, 25, 25$ (donc chaque effectif attendu est $25$). Testez l'adéquation au niveau $5\%$.

Avec $4 - 1 = 3$ degrés de liberté, la valeur du tableau est $7.815$. Puisque $2 < 7.815$, ne pas rejeter le modèle.

Un test non paramétrique 非参数检验 ne fait aucune hypothèse sur la normalité des données, ce qui est utile quand cette hypothèse échoue. Les principaux sont :

• le test des signes 符号检验 : compter combien de valeurs sont au-dessus et en dessous d'une médiane proposée, et tester ces comptes avec un modèle binomial;
• le test des rangs signés de Wilcoxon 威尔科克森符号秩检验 (le test pour paires appariées matched-pairs pour des données appariées), qui utilise aussi les amplitudes des différences, pas seulement leurs signes;
• le test de somme des rangs de Wilcoxon 威尔科克森秩和检验, pour comparer deux échantillons indépendants.

Exemple résolu. Tester si une médiane est $5$. Dans un échantillon de $10$ valeurs (aucune égale à $5$), $9$ sont au-dessus $5$ et $1$ sont en dessous. Testez au niveau $5\%$ (bilatéral).

Sous $H_0$ (médiane $= 5$), le nombre au-dessuit suit $B(10, 0.5)$. Le résultat observé ($9$ au-dessus) est extrême, donc trouvez $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. Pour un test bilatéral, comparez avec $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. Puisque $0.0107 < 0.025$, rejeter $H_0$ : il y a des preuves que la médiane n'est pas $5$.

La fonction génératrice de probabilité 概率母函数 d'une variable discrète $X$ est

Elle regroupe toute la distribution dans une seule fonction. La moyenne et la variance proviennent de ses dérivées en $t = 1$ : $E(X) = G'(1)$ et $\mathrm{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - \big(G'(1)\big)^2$. De plus, la FGP d'une somme de variables indépendantes est le produit de leurs FGP.

Exemple résolu. $X$ a $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. Trouvez $E(X)$ en utilisant la FGP.

Ici $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, donc $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ et

• Pour une variable aléatoire continue, la pdf intègre à $1$ sur son domaine, et $E(X) = \int x f(x)\,dx$.
• Utilisez la distribution $t$ quand l'échantillon est petit et la variance de la population inconnue ; précisez les degrés de liberté.
• Pour un test du chi-deux, calculez $\sum (O-E)^2/E$, comparez avec la valeur critique aux bons degrés de liberté, et regroupez les classes avec $E < 5$.
• Énoncez $H_0$ et $H_1$ et donnez la conclusion dans le contexte pour chaque test.