4 · Statistiques et probabilités

Cette fiche couvre les sujets HL sélectionnés pour le cours dont la première évaluation a eu lieu en 2021 ; elle ne constitue pas l'intégralité du programme.

Prérequis : lire les quantités et unités indiquées, puis utiliser l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous.

Les exemples sont originaux et fictifs : ils ne correspondent ni à de vraies mesures ni à de véritables enquêtes d'étudiants.

Une moyenne peut-elle tout raconter ?

• Deux groupes ont la même médiane mais une dispersion différente. Un seul résumé ne peut décrire à la fois la localisation et la régularité.
• Cette leçon étudie la densité de fréquence : Fréquence divisée par l'intervalle de classe, utilisée comme hauteur de l'histogramme.

La méthode

• Comparez une moyenne appropriée et une dispersion dans leur contexte.
• Un histogramme utilise l'aire pour la fréquence, donc hauteur = fréquence / amplitude de classe.
• Les estimations groupées supposent des valeurs représentatives au sein des intervalles.

Cas résolu

Exemple :

Une classe de 10 à 20 avec une fréquence 30 a une densité 30/10=3. Une classe de 20 à 40 avec une fréquence 20 a une densité 20/20=1. Sa barre plus large ne doit pas être confondue avec une densité plus grande. Pour les valeurs 2,4,4,6,9, la médiane est 4 et la moyenne est 5.

Où cela échoue

• La barre la plus haute d'un histogramme ne contient pas nécessairement le plus grand nombre d'observations.
• Une moyenne groupée est une estimation.
• La corrélation ne prouve pas la causalité, et l'extrapolation s'étend au-delà de la plage observée.

Faux : La hauteur d'une barre d'histogramme ne correspond pas toujours à sa fréquence, même avec des classes inégales. Avec des classes inégales, la hauteur est la densité de fréquence ; la fréquence est l'aire de la barre.

Application

• Choisissez une représentation adaptée au type de données.
• Fournissez à la fois une comparaison numérique et son interprétation pour la population ; n'inférez pas plus de précision que l'échantillon ne le permet.

Dans votre cours

• Analyse et Approches HL, premier examen du cours en 2021.
• Le papier 1 est sans calculatrice : conservez les fractions, racines et π sous forme exacte et présentez chaque étape. Sur les épreuves avec calculatrice, écrivez toujours l'expression avant sa valeur numérique.

Clé :

• Densité de fréquence : Fréquence divisée par la largeur de classe, utilisée comme hauteur d'histogramme.
• Comparez une moyenne appropriée et une dispersion dans leur contexte.
• Attention : la barre d'histogramme la plus haute ne contient pas nécessairement le plus grand nombre d'observations.

Écrire à partir d'une moyenne de 7

• Une classe de largeur 4 a une fréquence 32.
• Les valeurs 6, 6, 6, 6 et 11 ont une moyenne et une médiane. La hauteur des barres n'est pas toujours la fréquence.

Qu'est-ce qui change après le premier tirage ?

• Un sac contient 3 jetons rouges et 2 jetons bleus. Tirer deux jetons sans remise modifie la probabilité d'obtenir la deuxième couleur.
• Cette leçon étudie la probabilité conditionnelle : la probabilité d'un événement après avoir restreint l'espace échantillonnal à une condition donnée.

La méthode

• Multipliez le long d'une branche d'arbre et additionnez les branches disjointes.
• Avec remise, la composition reste fixe.
• La probabilité conditionnelle est P(A sachant B)=P(A∩B)/P(B), pour P(B)>0.

Cas résolu

Exemple :

Sans remise, P(deux rouges)=3/5×2/4=3/10. P(un de chaque)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. Si P(A∩B)=0.12 et P(B)=0.3, P(A sachant B)=0.4.

Où cela échoue

• Mutuellement exclusif signifie sans chevauchement ; indépendant signifie que connaître un événement ne modifie pas la probabilité de l'autre.
• Deux événements disjoints à probabilité positive ne sont pas indépendants.

Faux : Des événements mutuellement exclusifs de probabilité positive doivent être indépendants. Des événements mutuellement exclusifs de probabilité positive sont dépendants : si l'un se produit, l'autre ne peut pas, donc P(A et B)=0≠P(A)P(B).

Application

• Un tableau à double entrée rend le dénominateur restreint visible.
• Avant d'utiliser un produit P(A)P(B), justifiez l'indépendance à partir du contexte ou des informations fournies.

Dans votre cours

• Analyse et Approches HL, premier examen du cours en 2021.
• Le papier 1 est sans calculatrice : conservez les fractions, racines et π sous forme exacte et présentez chaque étape. Sur les épreuves avec calculatrice, écrivez toujours l'expression avant sa valeur numérique.

Clé :

• Probabilité conditionnelle : La probabilité d'un événement après avoir restreint l'espace échantillonnal à une condition spécifiée.
• Multipliez le long d'une branche d'arbre et additionnez les branches disjointes.
• Attention : mutuellement exclusif signifie sans chevauchement ; indépendant signifie que connaître un événement ne modifie pas la probabilité de l'autre.

Écrire à partir d'une probabilité conditionnelle de 0.64

• P(A et B) est 0.16 et P(B) est 0.25.
• Trouver P(A sachant B). Les événements mutuellement exclusifs qui peuvent se produire ne sont pas indépendants.

Qu'est-ce qui rend un dénombrement prévisible ?

• Un inspecteur de qualité compte les articles défectueux. Le nombre est aléatoire, mais un modèle peut décrire sa fourchette probable.
• Cette leçon étudie la valeur espérée : la moyenne pondérée par la probabilité d'une variable aléatoire.

La méthode

• Un modèle binomial nécessite n fixe, des essais indépendants, deux issues et une probabilité p constante.
• E(X)=np et Var(X)=np(1-p).
• Pour un modèle normal, utilisez z=(x-μ)/σ.
• Un modèle de Poisson décrit des comptes avec un taux constant et des hypothèses d'indépendance appropriées.

Cas résolu

Exemple :

Pour X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 et Var(X)=0.8. Pour une grandeur normale avec μ=100, σ=15, la valeur 130 a z=2. Une moyenne de Poisson de 3 par heure donne une moyenne de 6 sur deux heures.

Où cela échoue

• Pas tous les comptes sont binomiaux : modifier p ou introduire une dépendance peut l'invalider.
• Pour une variable continue, la probabilité d'une valeur exacte est zéro.
• La correction de continuité est importante lors de l'approximation d'une distribution discrète par une normale.

Faux : Tout comptage de succès suit une loi binomiale quelle que soit la dépendance. Le modèle binomial exige des essais indépendants avec une probabilité fixe ; des essais dépendants l'invalident.

Application

• Écrivez l'événement sous forme d'inégalité avant d'utiliser les fonctions de distribution de la calculatrice.
• Distinuez P(X<k), P(X≤k) et un complément de queue.
• Énoncez les hypothèses dans le contexte.

Dans votre cours

• Analyse et Approches HL, premier examen du cours en 2021.

Clé :

• Valeur attendue : La moyenne pondérée par la probabilité d'une variable aléatoire.
• Un modèle binomial nécessite n fixe, des essais indépendants, deux issues et une probabilité p constante.
• Surveiller : tous les comptes ne sont pas binomiaux ; un changement de p ou une dépendance peut invalider ce modèle.

Écrire à partir d'une cote z de 3

• Une valeur 82 provient d'une distribution de moyenne 70 et d'écart-type 4.
• Trouver le score z. Un décompte binomial nécessite des essais indépendants.

Écrire à partir d'un nombre attendu de 3

• Un modèle binomial compte n = 10 essais avec p = 0.3.
• Le nombre attendu est np = 3 — la moyenne pondérée par les probabilités, pas une garantie de 3.

Écrire à partir d'une cote z de 2

• Une valeur 60 provient d'une distribution de moyenne 50 et d'écart-type 5.
• La cote z est 10 ÷ 5 = 2 — deux écarts-types au-dessus de la moyenne.