1 · Nombres et algèbre

Cette fiche couvre les sujets HL sélectionnés pour le cours dont la première évaluation a eu lieu en 2021 ; elle ne constitue pas l'intégralité du programme.

Prérequis : lire les quantités et unités indiquées, puis utiliser l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous.

Les exemples sont originaux et fictifs : ils ne correspondent ni à de vraies mesures ni à de véritables enquêtes d'étudiants.

Peut-on empaqueter sans reste ?

• Un fournisseur emballe 72 crayons et 90 stylos dans des sacs-cadeaux identiques. Comment éviter les restes ?
• Cette leçon étudie le facteur premier : un nombre premier qui divise exactement un entier.

La méthode

• Les facteurs premiers révèlent la structure commune.
• Utilisez les plus petites puissances premières communes pour le PGC et les plus grandes pour le PPCM.
• Estimez avant de calculer ; utilisez des parenthèses pour préserver l’ordre des opérations.

Cas résolu

Exemple :

72=2^3×3^2 et 90=2×3^2×5. Leur PGCD est 2×9=18. Préparez 18 sacs avec 4 crayons et 5 stylos chacun. Leur PPCM est 2^3×3^2×5=360.

Où cela échoue

• Le PGC divise les deux nombres ; le PPCM est un multiple des deux.
• Ils répondent à des questions différentes.
• Une estimation décimale n’est pas une fraction exacte.

Pas vrai : Le PGCD de deux entiers positifs est toujours supérieur à chacun des entiers. Le PGCD divisant les deux nombres, il ne peut jamais être plus grand que le plus petit : le PGCD de 72 et 90 est 18.

Application

• Pour une épreuve sans calculatrice, conservez les fractions exactes et montrez les simplifications.
• Pour une épreuve de calculatrice, saisissez l'expression complète et comparez-la à votre estimation.

Dans votre cours

• Analyse et Approches HL, premier examen du cours en 2021.

Clé :

• Facteur premier : Un nombre premier qui divise exactement l'entier.
• Les facteurs premiers révèlent la structure commune.
• À vérifier : le PGCD divise les deux nombres ; le PPCM est un multiple des deux.

Écrire à partir d'un PGCD de 6

• Trouver le PCC et le PPCM de 18 et 30.
• Le PCC est plus petit que les deux entiers.

Quelle est l'ampleur d'une longueur microscopique ?

• Un microscope enregistre une longueur de 0.000072 mètres. Une représentation compacte doit conserver sa taille correcte.
• Cette leçon étudie l'indice : la puissance à laquelle une base est élevée.

La méthode

• Pour une même base positive, la multiplication ajoute les exposants et la division les soustrait.
• Un exposant négatif signifie le réciproque ; un exposant fractionnaire représente une racine.
• La notation scientifique impose 1≤a<10.

Cas résolu

Exemple :

0.000072=7.2×10^(-5). De plus, 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Simplifiez √72=6√2, puis rationalisez $1/\sqrt{2}$=√2/2.

Où cela échoue

• Les lois des indices ne transforment pas une somme en une seule puissance : 2^3+2^4=24, et non 2^7.
• Ne pas arrondir un radical lorsqu'une réponse exacte est demandée.

Faux : Pour tout a positif, a^2+a^3 équivaut à a^5. Les lois des indices n'additionnent les puissances que lorsque les termes sont multipliés : 2²+2³=12, mais 2⁵=32.

Application

• Vérifier les puissances de dix par rapport à la quantité originale.
• Utiliser les radicaux pour la géométrie exacte, et arrondir uniquement la longueur finale si la question demande une décimale.

Dans votre cours

• Analyse et Approches HL, premier examen du cours en 2021.
• Le papier 1 est sans calculatrice : conservez les fractions, racines et π sous forme exacte et présentez chaque étape. Sur les épreuves avec calculatrice, écrivez toujours l'expression avant sa valeur numérique.

Clé :

• Index : La puissance à laquelle une base est élevée.
• Pour une même base positive, la multiplication ajoute les exposants et la division les soustrait.
• Surveiller : les lois des indices ne transforment pas une somme en une seule puissance : 2^3+2^4=24, et non 2^7.

Écrire à partir de 8 élevé à la puissance 2/3

• Évaluer 8 à la puissance 2/3.
• Un carré plus un cube ne donne pas une puissance cinquième.

La variation ajoute-t-elle ou multiplie-t-elle ?

• Un plan d'épargne ajoute ¥30 chaque semaine ; un modèle de population croît de 5% chaque année. Des différences égales et des rapports égaux nécessitent des modèles différents.
• Cette leçon étudie le taux commun : Le multiplicateur constant entre les termes consécutifs d'une suite géométrique.

La méthode

• Pour une suite arithmétique, u_n=a+(n-1)d et S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
• Pour une suite géométrique, u_n=ar^(n-1) et S_n=a(1-r^n)/(1-r).
• Une somme géométrique infinie existe uniquement si |r|<1.

Cas résolu

Exemple :

Pour a=5, d=3, n=8, on a u_8=5+7×3=26 et S_8=8(10+21)/2=124. Pour a=12, r=1/2, la somme à l'infini est 12/(1-1/2)=24. Pour u_(n+1)=2u_n+1 avec u_1=1, les termes suivants sont 3,7,15.

Où cela échoue

• Le premier terme a l'indice 1, donc l'exposant est n-1.
• Une suite est une liste ; une série est une somme.
• Une suite géométrique peut alterner en signe et encore converger.

Faux : Toute série géométrique a une somme finie vers l'infini. Une somme vers l'infini n'existe que lorsque −1<r<1 ; pour r=2, les termes augmentent sans limite.

Application

• Expliquez si le contexte justifie un changement additif ou multiplicatif.
• En finance, distinguez un dépôt unique d'un flux de dépôts avant de choisir une formule de somme.

Dans votre cours

• Analyse et Approches HL, premier examen du cours en 2021.
• Le papier 1 est sans calculatrice : conservez les fractions, racines et π sous forme exacte et présentez chaque étape. Sur les épreuves avec calculatrice, écrivez toujours l'expression avant sa valeur numérique.

Clé :

• Raison commune : Le multiplicateur constant entre les termes consécutifs d'une suite géométrique.
• Pour une suite arithmétique, u_n=a+(n-1)d et S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
• Surveillez : le premier terme a l'indice 1, donc l'exposant est n-1.

Écrire à partir du terme d'ordre 4 17

• Une suite arithmétique a pour premier terme 8 et pour raison commune 3.
• Trouver le 4 terme. Une série géométrique infinie nécessite une raison dont la valeur absolue est inférieure à 1.

Peut-on retrouver le prix initial ?

• Un manteau est réduit de 20% à ¥240. La réduction s'applique au prix initial, pas au prix de vente.
• Cette leçon étudie le multiplicateur : un facteur qui effectue une variation en pourcentage en une seule multiplication.

La méthode

• Une augmentation de p% a pour multiplicateur 1+p/100 ; une diminution a pour multiplicateur 1-p/100.
• Inversez un pourcentage en divisant par le multiplicateur.
• Dans un ratio, trouvez d'abord le nombre total de parties.

Cas résolu

Exemple :

Soit P le prix initial. Le modèle est : prix de vente=0.8P. Donc P=240/0.8=300. Une augmentation ultérieure de 20% donne 240×1.2=288, donc les deux changements ne s'annulent pas.

Où cela échoue

• Un pourcentage utilise une base spécifiée.
• Soustraire les pourcentages fait perdre cette base.
• Pour un changement composé, multipliez les multiplicateurs ; n'additionnez pas les pourcentages.

Faux : Une diminution de 20% suivie d'une augmentation de 20% restaure le prix initial. L'augmentation de 20% est appliquée à un montant inférieur : 100×0.8×1.2=96, et non 100.

Application

• Pour la proportion directe, utilisez y=kx ; pour la proportion inverse, utilisez y=k/x.
• Calculez k à partir d'une paire connue avant d'utiliser une nouvelle valeur.
• Indiquez ce que vous avez maintenu constant.

Dans votre cours

• Analyse et Approches HL, premier examen du cours en 2021.
• Le papier 1 est sans calculatrice : conservez les fractions, racines et π sous forme exacte et présentez chaque étape. Sur les épreuves avec calculatrice, écrivez toujours l'expression avant sa valeur numérique.

Clé :

• Multiplicateur : Un facteur qui effectue une variation pourcentuelle lors d'une multiplication.
• Une augmentation de p% a pour multiplicateur 1+p/100 ; une diminution a pour multiplicateur 1-p/100.
• À surveiller : Un pourcentage utilise une base déclarée.

Écrire à partir d'un prix final de 240

• Un prix de 250 diminue de 20 pour cent, puis augmente de 20 pour cent.
• Trouver le prix final. Les deux variations ne s'annulent pas.

Et si la racine n'est pas réelle ?

• L'équation x²+1=0 n'a pas de racines réelles. L'extension du système numérique nous permet de représenter et de calculer avec les deux racines.
• Cette leçon étudie le conjugé complexe : Le nombre obtenu en inversant le signe de la partie imaginaire.

La méthode

• Écrire z=a+bi avec i²=-1.
• Le conjugué est a-bi et z fois son conjugué=a²+b².
• Le module est √(a²+b²) ; l'argument nécessite le bon quadrant.
• Les racines conjuguées apparaissent pour les polynômes à coefficients réels.

Cas résolu

Exemple :

Pour z=3+4i, |z|=5 et le conjugué de z=3-4i. L'inverse est (3-4i)/25. Pour x²-6x+13=0, les racines sont 3±2i. Multiplier par le conjugué rend le dénominateur complexe réel.

Où cela échoue

• La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.
• Une tangente inverse seule peut renvoyer au mauvais quadrant.
• Ne confondez pas le module avec le module au carré.

Pas vrai : Pour a+bi, son module est toujours a+b. Le module est √(a²+b²) : pour 3+4i il est 5, pas 7.

Application

• Tracer l'axe réel horizontalement et l'axe imaginaire verticalement.
• Pour les produits, les modules se multiplient et les arguments s'additionnent ; les puissances étendent ce motif géométrique via le théorème de De Moivre.

Dans votre cours

• Analyse et Approches HL, premier examen du cours en 2021.
• Le papier 1 est sans calculatrice : conservez les fractions, racines et π sous forme exacte et présentez chaque étape. Sur les épreuves avec calculatrice, écrivez toujours l'expression avant sa valeur numérique.

Clé :

• Conjugé complexe : Nombre obtenu en inversant le signe de la partie imaginaire.
• Écrire z=a+bi avec i²=-1.
• Attention : la racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.

Écrire à partir d'un module de 13

• Trouver le module de 5 plus 12 i.
• Le module n'est pas la somme des deux parties.

Comment une petite variation affecte-t-elle une puissance ?

• Une petite variation de mesure affecte une puissance d'une quantité. Un développement peut montrer l'ampleur des effets du premier et du second ordre.
• Cette leçon étudie le coefficient binomial : Le nombre de façons de choisir un nombre spécifié d'objets parmi un ensemble.

La méthode

• Pour un entier positif n, (a+b)^n est un développement binomial fini.
• Pour un exposant non entier, développez (1+x)^n en 1+nx+n(n-1)x²/2+... avec |x|<1.
• Factorisez les constantes avant d'utiliser cette forme.

Cas résolu

Exemple :

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. Pour (1+x)^(-1), les trois premiers termes sont 1-x+x² ; en x=0.1, cela donne 0.91 contre la valeur exacte 1/1.1≈0.909091.

Où cela échoue

• Un développement en 2x exige que |2x|<1 pour la série infinie, et non simplement |x|<1.
• Les développements à entier positif sont finis et ne comportent pas cette restriction de convergence.

Faux : Tous les développements binomiaux ne sont pas des polynômes finis, y compris pour les puissances qui ne sont pas des entiers positifs. Pour une puissance négative ou fractionnaire, le développement est une série infinie, valide uniquement pour |x|<1.

Application

• Indiquez toujours le domaine de validité à côté d'une approximation.
• Conservez assez de termes pour garantir la précision demandée, et distinguez un coefficient du terme entier contenant x.

Dans votre cours

• Analyse et Approches HL, premier examen du cours en 2021.
• Le papier 1 est sans calculatrice : conservez les fractions, racines et π sous forme exacte et présentez chaque étape. Sur les épreuves avec calculatrice, écrivez toujours l'expression avant sa valeur numérique.

Clé :

• Coefficient binomial : Le nombre de façons de choisir un nombre spécifié d'objets parmi un ensemble.
• Pour un entier positif n, (a+b)^n est un développement binomial fini.
• Surveillez : un développement en 2x exige que |2x|<1 pour la série infinie, et non simplement |x|<1.

Écrire à partir d'un coefficient de 54

• Trouver le coefficient de x au carré dans (1 plus 3x) élevé à la puissance 4.
• Un développement binomial est fini uniquement pour un exposant entier non négatif.

Un polynôme peut-il remplacer une exponentielle à proximité ?

• Près d'un point connu, une fonction complexe peut être remplacée par une approximation polynomiale. Cette approximation nécessite un centre et une échelle valide.
• Cette leçon étudie le polynôme de Taylor : un polynôme formé à partir des dérivées d'une fonction en un centre choisi.

La méthode

• Autour de x=a, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... lorsque le développement est valide.
• À a=0, c'est un développement de Maclaurin.
• Les sommes finies peuvent également se simplifier par annulation ou formules de somme standard.

Cas résolu

Exemple :

Les trois premiers termes de e^x sont 1+x+x²/2. Pour x=0.1, cela donne 1.105, proche de e^0.1≈1.105170. Pour la somme de k² de k=1 à 5, n(n+1)(2n+1)/6 donne 5×6×11/6=55.

Où cela échoue

• La factorielle figure au dénominateur de chaque coefficient de Taylor.
• Le centre d'expansion n'est pas toujours zéro.
• Une approximation proche de son centre peut être mauvaise loin de celui-ci.

Faux : Un polynôme de Taylor n'est jamais exact pour la fonction originale à chaque valeur d'entrée. Un polynôme de Taylor est une approximation ; il est généralement précis seulement près de son centre.

Application

• Pour une série télescopique, écrire plusieurs termes et identifier les deux extrémités restantes.
• Pour une approximation de Taylor, indiquer son ordre et la comparer à une valeur connue ou à une estimation du reste si nécessaire.

Dans votre cours

• Analyse et Approches HL, premier examen du cours en 2021.
• Le papier 1 est sans calculatrice : conservez les fractions, racines et π sous forme exacte et présentez chaque étape. Sur les épreuves avec calculatrice, écrivez toujours l'expression avant sa valeur numérique.

Clé :

• Polynôme de Taylor : Polynôme formé à partir des dérivées d'une fonction en un centre choisi.
• Autour de x=a, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... lorsque le développement est valide.
• Attention : le factoriel figure au dénominateur de chaque coefficient de Taylor.

Écrire à partir d'une somme de carrés de 30

• Trouver la somme de k au carré lorsque k va de 1 à 4.
• Utiliser 1 plus x plus x au carré divisé par 2 pour estimer e élevé à la puissance 0.2. Un polynôme de Taylor n'est exact en aucun point.

Écrire à partir d'une somme de 5050

• Trouver la somme de k allant de k = 1 à 100.
• Appariement de Gauss : 1 + 100, 2 + 99, … donne 50 paires de 101, donc 5 050.

Écrire à partir d'une estimation du second ordre de 1.22

• Utiliser 1 + x + x² / 2 en x = 0.2.
• L'estimation est 1.22 contre une valeur réelle proche de 1.2214 — le x³ manquant divisé par 6 (environ 0.0013) correspond à l'ordre de grandeur de l'erreur de troncature.