Focus HL pris en charge. Première évaluation 2021 ; valide jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.
Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.
Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.
Une route courbe a différentes pentes à différents endroits. Une pente moyenne ne peut décrire chaque point.
Cette leçon étudie la dérivée : le taux de changement instantané, également appelé pente de la tangente.
Choisir la structure mathématique
Pour y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Un point stationnaire satisfait dy/dx=0. Vérifiez le changement de signe de la dérivée ou la dérivée seconde lorsqu'elle est non nulle pour la classifier.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. En x=1, la pente est 0 et y=-2. La dérivée seconde est 6x, positive en x=1, c'est donc un minimum local. En x=-1, y=2 et la dérivée seconde est négative, ce qui donne un maximum local.
Tester un raccourci séduisant
Une dérivée nulle ne signifie pas toujours un maximum ou un minimum : y=x³ est stationnaire en 0 mais continue d'augmenter. Une extrémité peut également produire une valeur extrême sur un domaine restreint.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Chaque point avec une dérivée nulle est un maximum ou un minimum local. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Au niveau GCSE/IGCSE, utilisez uniquement la portée des polynômes autorisée par le niveau ; n'ajoutez pas les règles de chaîne, produit ou quotient à ce stade. Au niveau avancé, reliez la dérivée aux taux de variation et à l'optimisation avec un domaine valide.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Utiliser cela dans votre cursus
Analyse et Approches HL premier évaluateur-2021 actuel. Il s'agit d'un soutien conceptuel à l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Le taux de variation instantané, aussi appelé la pente d'une tangente. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
5.3
Intégrales, aire et accumulation
Quelle quantité de changement s'est accumulée ?
Un graphique de vitesse nous donne le mouvement à un instant donné. Comment pouvons-nous récupérer le déplacement accumulé au fil du temps ?
Cette leçon étudie l'antidérivée : une fonction dont la dérivée est égale à l'intégrande donnée.
Choisir la structure mathématique
Pour n≠-1, l'intégrale de ax^n est ax^(n+1)/(n+1)+C. Une intégrale définie représente une accumulation signée. Séparez les intervalles aux changements de signe si l'aire totale ou la distance est requise.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour v(t)=3t²-3 sur 0≤t≤2, le déplacement=[t³-3t]_0^2=2. Puisque v change de signe en t=1, la distance=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. Les constantes s'annulent uniquement pour une intégrale définie.
Tester un raccourci séduisant
L'intégrale de 1/x est ln|x|+C, et non la règle des puissances avec n=-1. L'aire signée peut être nulle même lorsque l'aire totale enclose est positive.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Une intégrale définie est toujours égale à l'aire positive totale, même lorsque la courbe traverse l'axe. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Identifiez ce que signifie l'intégrale et incluez les unités correctes. Une grandeur mesurée par seconde s'intègre en la quantité sous-jacente, pas en une autre grandeur. Dérivez une antidérivée pour vérifier.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Utiliser cela dans votre cursus
Analyse et Approches HL premier évaluateur-2021 actuel. Il s'agit d'un soutien conceptuel à l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Une fonction dont la dérivée est égale à l'intégrande donnée. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
5.4
Dérivation en chaîne, produit, quotient et implicite
L'expression intérieure change-t-elle aussi ?
Une courbe de coût est une puissance d'une expression variable. Dériver uniquement la puissance extérieure omet le taux de variation de son entrée.
Cette leçon étudie la règle de chaîne : la règle qui multiplie la dérivée extérieure par la dérivée intérieure pour une fonction composée.
Choisir la structure mathématique
Pour y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). Pour uv, dérivez vers u prime v+uv prime. Pour u/v, utilisez (u prime v-uv prime)/v², où v≠0.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. En x=0, la pente est 12. Pour x²+y²=25, dérivez implicitement : 2x+2y y prime=0, donc y prime=-x/y lorsque y≠0.
Tester un raccourci séduisant
La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Dans la dérivation implicite, chaque fonction dérivée de y apporte un facteur dy/dx. Le dénominateur d'un quotient est au carré.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
La dérivée de u(x)v(x) est toujours u prime fois v prime. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Choisissez une forme utile avant de dériver : développer un court polynôme peut être plus simple. Pour les taux liés, écrivez la relation en symboles, dérivez par rapport au temps, puis substituez les valeurs mesurées.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Utiliser cela dans votre cursus
Analyse et Approches HL premier évaluateur-2021 actuel. Il s'agit d'un soutien conceptuel à l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
La règle qui multiplie la dérivée extérieure par la dérivée intérieure pour une fonction composée. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
5.5
Substitution, intégration par parties et fractions partielles
Peut-on intégrer les deux facteurs séparément ?
Un produit apparemment simple comme xe^x ne peut pas être intégré en intégrant séparément chaque facteur.
Cette leçon étudie l'intégration par parties : une méthode d'intégration basée sur la dérivée d'un produit.
Choisir la structure mathématique
Utilisez la substitution lorsqu'une dérivée interne apparaît comme facteur. Par parties, intégrale u v prime =uv-intégrale u prime v. Pour une fonction rationnelle, effectuez la division d'abord si nécessaire, puis décomposez en fractions partielles.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Traiter un cas vérifié
$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour l'intégrale de xe^x dx, prenez u=x et v prime=e^x. Ensuite, l'intégrale est xe^x-e^x+C. Pour l'intégrale de 2x/(x²+1) dx, substituez w=x²+1, dw=2x dx ; la réponse est ln(x²+1)+C.
Tester un raccourci séduisant
Bien choisir u et v prime est essentiel : l'intégrale restante devrait devenir plus simple. Dans une substitution définie, modifiez soit les bornes, soit revenez à x avant d'appliquer les bornes originales.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
L'intégrale d'un produit est égale au produit de ses intégrales séparées. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Vérifier par dérivation. Pour les volumes de révolution autour de l'axe des x, utilisez V=π ∫ y² dx ; ne pas confondre le carré d'une fonction avec l'intégrale de cette fonction.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Utiliser cela dans votre cursus
Analyse et Approches HL premier évaluateur-2021 actuel. Il s'agit d'un soutien conceptuel à l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Une méthode d'intégration basée sur la dérivée d'un produit. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses conditions d'application et interprétez le résultat.
5.6
Équations différentielles et solutions numériques
Que décide la valeur initiale ?
Le taux de croissance d'une population est proportionnel à sa taille actuelle. L'équation du taux décrit une famille entière jusqu'à ce qu'une population initiale soit spécifiée.
Cette leçon étudie la condition initiale : une valeur spécifiée qui sélectionne une solution particulière parmi une famille de solutions.
Choisir la structure mathématique
Pour dy/dx=ky, séparez les variables : dy/y=k dx, ce qui donne y=Ae^(kx). Utilisez une condition initiale pour trouver A. La méthode d'Euler utilise y_next=y+h f(x,y), avec un pas h choisi.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Traiter un cas vérifié
$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Avec dy/dx=0.5y et y(0)=2, on a y=2e^(0.5x). Euler avec h=0.2 donne y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 et y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. La deuxième valeur exacte est d'environ 2.4428.
Tester un raccourci séduisant
Une condition initiale détermine la constante d'intégration ; elle ne remplace pas l'intégration. Diviser par y peut omettre une solution d'équilibre y=0. La précision d'Euler dépend de la taille du pas et de l'équation.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Chaque taille de pas donne exactement la même approximation d'Euler. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Pour les équations linéaires du second ordre, combiner la fonction complémentaire avec une intégrale particulière appropriée, puis appliquer les conditions initiales requises. Il s'agit d'un contenu de Further Pure ; vérifier l'unité nommée.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Utiliser cela dans votre cursus
Analyse et Approches HL premier évaluateur-2021 actuel. Il s'agit d'un soutien conceptuel à l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Une valeur spécifiée qui sélectionne une solution particulière parmi une famille. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses conditions d'application et interprétez le résultat.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.
