C.10 · Différentiation implicite et jacobien inverse

Préparation GRE niveau universitaire. Objectifs locaux dans le périmètre ETS examiné ; il s'agit d'un enseignement original, pas d'un test officiel ni d'un prédicteur de score.

Prérequis : Règle de la chaîne, inversion matricielle et hypothèses d'inverse local.

• Différencier un système implicite couplé comme un système linéaire
• Utiliser un déterminant jacobien non nul pour justifier un inverse local
• Distiguer les dérivées partielles inverses des règles de réciproques scalaires

matrice jacobienne : La matrice des dérivées partielles premières d'une application vectorielle.

inverse locale : Une inverse définie sur des voisinages d'un point d'entrée et de sortie particulier.

Pour une application différentiable F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)), son Jacobien est J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. De petits changements satisfont [dx,dy] (transposé)=J[du,dv] (transposé) au premier ordre. Pour trouver u_x tout en maintenant y fixe, dériver les deux équations définissant par rapport à x : f_u u_x+f_v v_x=1 et g_u u_x+g_v v_x=0. Il s'agit d'un système linéaire couplé, et non de deux règles scalaires inverses indépendantes.

Si f et g sont continûment différentiables près du point et que det J=f_u g_v−f_v g_u est non nul à cet endroit, le théorème des fonctions implicites fournit une inverse locale différentiable. Sa dérivée est J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. Ainsi u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J et v_y=f_u/det J. Évaluer toutes les dérivées au point correspondant. Une inverse locale ne doit pas nécessairement s'étendre à une inverse globale.

Pour les équations implicites H(u,v,x,y)=0 et K(u,v,x,y)=0, dériver tout en fixant la coordonnée indépendante demandée. Résoudre [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x] (transposé)=−[H_x,K_x] (transposé). Le déterminant dans les variables inconnues u,v doit être non nul pour utiliser le théorème usuel des fonctions implicites. Les signes à droite proviennent du déplacement des dérivées connues de l'autre côté. Si le déterminant s'annule, ce théorème est sans conclusion ; il ne prouve pas par lui-même qu'aucune inverse ou aucune solution implicite n'existe.

Le raccourci scalaire du/dx=1/(dx/du) est valide pour une inverse à une variable avec une dérivée non nulle, mais échoue généralement pour un système couplé car v change pour maintenir y fixe. Pour x=u+v,y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] a pour déterminant 1 et pour inverse [[2,−1],[−1,1]]. Par conséquent u_x=2 tandis que 1/f_u=1. Un Jacobien inverse transforme les sensibilités différentielles ; une intégrale de changement de variables utilise quant à elle le déterminant absolu pour l'échelle d'aire ou de volume, et non une entrée sélectionnée de l'inverse.

Prenez x=u²+v et y=u−v. En (u,v)=(1,0), la sortie est (1,1), et J=[[2,1],[1,−1]] a pour déterminant −3. L'inverse est [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], donc u_x=1/3 et v_y=−2/3 à cet endroit. Multiplier J par cet inverse donne l'identité. La réciproque 1/f_u=1/2 n'est pas u_x car changer u nécessite aussi de changer v pour maintenir y fixe.

Différenciez les deux équations et précisez quelle sortie est maintenue fixe. Un déterminant non nul garantit un inverse local sous les hypothèses de régularité ; un déterminant nul n'est pas une preuve d'impossibilité. Utilisez une entrée d'inverse pour les sensibilités et un déterminant absolu pour l'intégration.

Soit $x=u^2+v,y=u-v$. À $(u,v)=(1,0)$, trouver le Jacobien inverse et les quatre dérivées partielles inverses. Vérifier par multiplication.

Solution détaillée

La sortie correspondante est $(1,1)$. Le Jacobien est $J=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ avec un déterminant de -3, non nul. Des dérivées partielles continues garantissent une inverse locale différentiable. Ainsi

Lire les lignes comme (u_x,u_y) et (v_x,v_y), toutes à la sortie (1,1). La multiplication donne l'identité. En particulier $u_x=1/3$, et non $1/x_u=1/2$ : v change pour maintenir y fixe.

Pour $F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$, décider si sa dérivée est inversible à l'extérieur de l'origine et si F est globalement injective sur le plan privé de l'origine. Que établit par lui-même un déterminant nul à l'origine ?

Vérification après tentative

$\det DF=4(u^2+v^2)>0$ à l'extérieur de zéro, donc le théorème des fonctions implicites fournit une inverse locale à chaque tel point. Mais $F(u,v)=F(-u,-v)$, donc elle n'est pas globalement injective sur le plan privé de l'origine. Un déterminant s'annulant en zéro signifie que ce théorème ne peut garantir une inverse locale différentiable à cet endroit. Ce n'est pas, par lui-même, une preuve générale qu'aucune inverse ensembles-théorique locale ne peut exister pour toute application ; par exemple, la fonction scalaire cubique est bijective malgré une dérivée nulle en zéro.