M1 · Mechanics 1

Mécanique 1 (M1, papier WME01/01, 1 heure 30 minutes, 75 points, premier examen juin 2019) est l'unité appliquée des International AS Mathematics : P1 et P2 sont supposés. Prendre $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ sauf indication contraire, et donner des réponses inexactes à 2 ou 3 chiffres significatifs. Cette référence couvre hypothèses de modélisation, vecteurs en mécanique, cinématique à accélération constante, lois de Newton avec particules connectées, quantité de mouvement et impulsion, frottement, statique et moments.

Indispensable pour M1 (non dans le manuel de formules — à mémoriser) :

Les mots d'une énoncé sont des instructions. Une particule a une masse mais pas de taille ; une lamelle a une surface mais pas d'épaisseur ; un barreau a une longueur mais pas d'épaisseur ; un corps rigide conserve sa forme. Léger signifie sans masse ; une corde légère non chargée sur une poulie lisse a la même tension partout. Uniforme signifie densité constante, donc une tige uniforme a son centre de gravité à son milieu. Une corde inextensible garde sa longueur fixe ; une corde tendue sur une poulie fixe lie les magnitudes des vitesses des extrémités, et une surface lisse par rapport à une surface rugueuse décide si la friction agit. Une poulie légère et lisse change la direction d'une tension, pas sa grandeur. Énoncez l'hypothèse que vous utilisez — « lisse, donc pas de frottement » — car les points sont accordés pour la modélisation aussi beaucoup que pour l'algèbre.

Les déplacements, vitesses, accélérations et forces sont des vecteurs : $(3\mathbf i - 4\mathbf j)$ a une grandeur $5$ et une direction $\tan^{-1}(-4/3)$ depuis l'axe $x$ positif. Décomposez en composantes, effectuez les travaux composante par composante, et combinez à la fin. La résultante de $\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_2\\b_2\end{pmatrix}$ est $\begin{pmatrix}a_1+a_2\\b_1+b_2\end{pmatrix}$. Avec $\mathbf i$ est et $\mathbf j$ nord, un azimut se mesure horairement depuis le nord : le vecteur $-5\mathbf i - 12\mathbf j$ pointe vers le sud-ouest, à $\tan^{-1}(5/12) = 22.6°$ ouest du vrai sud, donc son azimut est $180 + 23 = 203°$.

Exemple résolu — vecteurs de position et azimuts (WME01 juin 2025 Q2). Particule A a $\mathbf r_A(2) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j)$ et $\mathbf r_A(5) = (10\mathbf i + 4\mathbf j)$. Vitesse $= \dfrac{\Delta\mathbf r}{\Delta t} = \dfrac{15\mathbf i - 12\mathbf j}3 = 5\mathbf i - 4\mathbf j$, ainsi $\mathbf r_A(t) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j) + (t-2)(5\mathbf i - 4\mathbf j) = (5t-15)\mathbf i + (24-4t)\mathbf j$. With B at $\mathbf s_B = -5\mathbf i + 7\mathbf j + t(2\mathbf i - 3\mathbf j)$, at $t = 5$: $\overrightarrow{AB} = (5\mathbf i - 8\mathbf j) - (10\mathbf i + 4\mathbf j) = -5\mathbf i - 12\mathbf j$, bearing $203°$.

Une accélération constante signifie que les formules suvat s'appliquent une fois par phase ; la discipline réside dans les signes. Choisissez le positif, écrivez $s, u, v, a, t$ avec des signes pour chaque phase, et sélectionnez la formule qui évite l'inconnue que vous ne souhaitez pas. Graphiques : sur un graphique vitesse–temps, la pente est l'accélération et l'aire correspond au déplacement (l'aire sous l'axe étant négative) ; un graphique vitesse–temps ne peut être négatif, donc un mouvement ascendant puis descendant apparaît sous la forme d'un V.

Exemple résolu — monté et descendu (WME01 juin 2025 Q3). Une balle est projetée verticalement vers le haut depuis A, à 12 m du sol au point B, et met 4 s pour atteindre B. En prenant le sens ascendant comme positif avec $A$ comme origine, $s = -12$ : $-12 = 4U - 4.9(16)$, donc $U = 16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (2 chiffres significatifs 17). Vitesse au sol : $v^2 = 16.6^2 + 2(9.8)(12) = 510.8$, donc $v = 22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Le graphique vitesse–temps est un V : chute de 16.6 à zéro au sommet (après $16.6/9.8 = 1.7$ : avec 22.6 depuis l'extrémité, $t = 4$ et $g$ sont vérifiés

La deuxième loi de Newton, appliquée le long d'une droite : $F_{\text{net}} = ma$ avec chaque force décomposée et signifiée. Pour deux particules liées sur une corde légère inextensible, écrire une équation du mouvement pour CHAQUE corps (même tension, même grandeur de vitesse), puis éliminer $T$. Sur un plan incliné, décomposer parallèlement et perpendiculairement à la pente ; $\tan\theta = 3/4$ signifie $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$.

Exemple résolu — deux cordes sur un bateau (WME01 juin 2025 Q4). Des forces de 800 N à $25°$ au-dessus de la ligne de mouvement et de 500 N à $\alpha$ en dessous tirent un bateau droit le long du canal. Perpendiculairement au mouvement, il n'y a pas d'accélération : $800\sin25° = 500\sin\alpha$, donc $\sin\alpha = 0.676$ et $\alpha = 43°$. Le long du mouvement, avec une masse de 15000 kg et une résistance de 750 N : $800\cos25° + 500\cos\alpha - 750 = 15000a$, donnant $a = 0.023\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ — les réponses à trois décimales sont attendues lorsque les nombres sont aussi petits.

Exemple résolu — poulie, du début à la fin (WME01 juin 2025 Q8). Boules P (masse $kM$) et Q (masse $3M$, $k < 3$) pendent au-dessus d'une poulie fixe légère et lisse, et accélèrent à $\tfrac g5$. Équations du mouvement : $T - kMg = kM\cdot\tfrac g5$ (P vers le haut) et $3Mg - T = 3M\cdot\tfrac g5$ (Q vers le bas). En éliminant $T$ : $3Mg - kMg = \tfrac{g}5(3M + kM)$, donc $5(3-k) = 3+k$ et $k = 2$. La corde tire la poulie vers le bas avec une force de $2T$ : avec une masse de $M = 0.5$ kg et une accélération de $T = 1(9.8 + 1.96) = 11.76$ m/s², la force est de $23.5$ N. Lorsque Q touche le sol après avoir chuté de 2.5 m, sa vitesse est de $\sqrt{2\cdot\frac g5\cdot2.5} = \sqrt{g} = 3.13$ ; si elle rebondit à $0.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, l'impulsion exercée sur Q est de $1.5(3.13 + 0.4) = 5.3$ N s. P continue ensuite à monter uniquement sous l'effet de la gravité pendant $\tfrac{\sqrt g}g = 0.32$ s après une phase de descente de $5/\sqrt g = 1.60$ s : temps total jusqu'à l'arrêt de $\approx 1.9$ s.

La quantité de mouvement $mv$ et l'impulsion $I = mv - mu$ sont signées le long de la ligne. La troisième loi de Newton impose que impulsion exercée sur chacun des deux corps en collision égale en grandeur et opposée en direction — utilisez l'un d'eux, pas les deux. Pour une collision directe, la conservation de la quantité de mouvement $m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$ nécessite des signes cohérents ; la restitution n'est PAS dans M1.

Exemple résolu — impulsion sur les deux corps (WME01 juin 2025 Q1). P (masse $km$, vitesse $5u$) rattrape Q (masse $3m$, vitesse $2u$) ; ensuite P continue d'avancer à $2u$ et Q à $v$. L' impulsion sur Q est $4.5mu$ : $3m(v - 2u) = 4.5mu$, donc $v = 3.5u$. L'impulsion sur P est égale et opposée : $km(5u - 2u) = 4.5mu$, donc $k = 1.5$.

Sur une surface rugueuse, la force de contact se décompose en la réaction normale $R$ (perpendiculaire) et frottement $F$ (le long, s'opposant au mouvement ou à sa tendance). En mouvement : $F = \mu R$ avec $\mu$ le coefficient de frottement. À l'équilibre $F \le \mu R$, avec égalité à l'équilibre limite — l'expression « sur le point de bouger » autorise $F = \mu R$.

Exemple résolu — un colis sur un plan incliné rugueux (WME01 juin 2025 Q6). Avec $\tan\theta = \tfrac34$ et $\mu = \tfrac14$ : perpendiculaire, $R = mg\cos\theta = \tfrac45mg$; le long (vers le haut positif, décélérant) : $-mg\sin\theta - \tfrac14R = ma$, donc $a = -g(\tfrac35 + \tfrac15) = -\tfrac45g$ — la décélération est $\tfrac45g$, et la réponse doit rester une fraction exacte de $g$. Maintenu au repos sur la pente par une force $X$ vers le haut du plan (masse 2 kg) : $X + \tfrac14(2g\cdot\tfrac45) = 2g\cdot\tfrac35$, donc $X = \tfrac45g = 7.84$ N.

Une particule est en équilibre lorsque la force résultante est nulle : décomposer selon deux directions perpendiculaires et égaler les deux sommes à zéro, ou tracer un triangle vectoriel fermé. Le poids $mg$ vers le bas, la réaction normale perpendiculaire à la surface, la tension le long d'une corde éloignée du corps (la poussée le long d'une tige pousse), la friction le long de la surface s'opposant au glissement. Sur un sol rugueux au repos, $F$ est ce qui ferme le polygone, limité à $\mu R$.

Exemple résolu — forces en équilibre (original). Une particule de poids 50 N suspendue par deux cordes légères formant des angles $40°$ et $60°$ avec la verticale. En décomposant horizontalement : $T_1\sin40° = T_2\sin60°$ ; verticalement : $T_1\cos40° + T_2\cos60° = 50$. De la première équation, $T_2 = 0.742T_1$ ; puis $T_1(0.766 + 0.371) = 50$, donc $T_1 = 44$ N et $T_2 = 33$ N (2 s.f.).

Le moment d'une force par rapport à un point est égal à la force × distance perpendiculaire, avec un signe selon le sens. Un corps rigide en équilibre a un moment résultant nul par rapport À TOUT point — choisissez donc le pivot qui annule le plus grand nombre d'inconnues. « Sur le point de basculer autour de X » signifie que la réaction ailleurs est tombée à zéro et que les moments sont calculés autour de X.

Exemple résolu — tige sur un rebord (WME01 juin 2025 Q5). Une tige non uniforme AB de longueur $3a$ reposant sur un rebord horizontal avec le bord en C, $AC = 2a$, centre de masse $d$ depuis A. Une force ascendante une force $P$ en B la fait basculer autour de A : les moments par rapport à A donnent $3aP = Wd$. Une force descendante $1.25P$ en B l'incline autour de C : $1.25Pa = W(2a - d)$. En substituant $P = \tfrac{Wd}{3a}$ (en unités de $a$) : $1.25\cdot\tfrac d3 = 2 - d$, donc $1.25d = 6a - 3d$, ce qui donne $4.25d = 6a$ et $d = \tfrac{24a}{17}$. La leçon : chaque cas de basculement possède son propre point d'appui, et seul le moment du poids reste inchangé entre eux.

• Nommez les hypothèses de modélisation en jeu (particule, tige légère, fil inextensible, surface lisse/rugueuse) et précisez ce que chacune permet de simplifier.
• Travaillez avec des vecteurs position et vitesse composante par composante ; convertissez les directions en azimuts ; trouvez les positions relatives à un instant commun.
• Résolvez des problèmes suvat monophasés et multiphasés avec des signes fixés par phase ; lisez les pentes et les aires sur les graphiques de mouvement ; esquissez la courbe vitesse-temps V pour un mouvement montant puis descendant.
• Appliquez $F = ma$ par corps le long de la ligne de mouvement ; traitez des particules liées via des poulies avec des équations appariées ; trouvez la force exercée sur une poulie comme $2T$.
• Utilisez l'impulsion-quantité de mouvement sur UN seul corps d'une paire de collisions ; conservez la quantité de mouvement avec des signes cohérents.
• Décomposez les forces de contact en $R$ et $F$ ; appliquez $F = \mu R$ lors du mouvement ou à la limite ; résolvez sur des plans inclinés en utilisant $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$ pour $\tan\theta = 3/4$.
• Fermez les polygones de forces pour l'équilibre dans deux directions ; bornez la frottement statique à $\mu R$.
• Calculez les moments par rapport au point d'appui qui élimine les inconnues ; changez de point d'appui lorsque le point de basculement se déplace.