FP1 · Further Pure Mathematics 1

Mathématiques pures avancées 1 (FP1, épreuve WFM01/01, 1 heure 30 minutes, 75 points) est obligatoire pour les International AS and A Level Further Mathematics et pour les International AS and A Level Pure Mathematics. P1–P2 sont supposés acquis et peuvent être testés, y compris la localisation du changement de signe des racines, rotation de figures autour de l'origine, et division d'un polynôme cubique ou quartique par un polynôme quadratique. Cette référence couvre les nombres complexes, les racines des équations quadratiques, les méthodes numériques, la parabole et l'hyperbole rectangulaire, l'algèbre matricielle, les transformations, les séries finies et la démonstration par récurrence.

Indispensable pour FP1 (non inclus dans le manuel) :

Un nombre complexe est $z = a + bi$ avec $i^2 = -1$ ; $a$ est la partie réelle, $b$ la partie imaginaire. Le conjugué $\bar z = a - bi$ inverse le signe de la partie imaginaire, et $z\bar z = a^2 + b^2 = \lvert z\rvert^2$ — l'astuce qui rend le dénominateur réel : $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1\bar z_2}{\lvert z_2\rvert^2}$. Deux nombres complexes sont égaux uniquement lorsque leurs parties réelles et imaginaires coïncident. La forme polaire $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ associe le module $r$ à l'argument (défini uniquement lorsque $z\ne0$) $\theta$ ; multiplier des nombres complexes multiplie leurs modules ($\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert$).

Exemple résolu — une somme réelle fixe la partie imaginaire. $z_1 = r(\cos\tfrac{7\pi}6 + i\sin\tfrac{7\pi}6)$ avec $r > 0$, et $z_2$ a pour module 5. Puisque $\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert = 5r = 15$, on obtient $r = 3$. Donc $z_1 = 3(-\tfrac{\sqrt3}2 - \tfrac12i) = -\tfrac{3\sqrt3}2 - \tfrac32 i$. Si $z_1 + z_2$ est réel, sa partie imaginaire est zéro, donc $z_2 = a + \tfrac32 i$ ; ensuite $a^2 + \tfrac94 = 25$ donne $a = \pm\tfrac{\sqrt{91}}2 \approx \pm4.77$. Les deux $z_2 = \tfrac{\sqrt{91}}2 + \tfrac32i$ et son reflet par rapport à l' axe imaginaire conviennent.

Sur un diagramme d'Argand (diagramme d'Argand), représentez $z = a + bi$ comme le point $(a, b)$ : l'addition est une addition vectorielle, le conjugué se reflète sur l'axe réel, et $\lvert z\rvert$ est la distance à l'origine.

Pour un polynôme du second degré à coefficients réels et discriminant négatif, complétez le carré : $x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4 = 0$ donne $x = 3 \pm 2i$. Les racines forment une paire de conjugués — et ce phénomène persiste au-delà du degré : si $f(z_1) = 0$ pour des coefficients réels, alors $f(\bar z_1) = 0$ aussi. Ainsi, un polynôme cubique à coefficients réels possède soit trois racines réelles, soit une racine réelle plus une paire de conjugués, et $(z - z_1)(z - \bar z_1) = z^2 - 2\operatorname{Re}(z_1)z + \lvert z_1\rvert^2$ est un réel facteur quadratique. Divisez-le pour obtenir le reste.

Exemple résolu — un polynôme de degré quatre avec une racine complexe donnée (WFM01 juin 2025 Q7). $f(z) = Pz^4 - 36z^3 + Qz^2 + 192z + 68$ a pour racine $3 + 5i$, donc $3 - 5i$ est aussi une racine et

En écrivant $f(z) = (z^2 - 6z + 34)(Pz^2 + bz + c)$ et en comparant : $34c = 68$ donc $c = 2$; $-6c + 34b = 192$ donc $34b = 204$, $b = 6$; puis $b - 6P = -36$ donne $P = 7$ et $c - 6b + 34P = Q$ donne $Q = 204$. (Vérification par rapport à $f(3+5i) = 0$ : l'équation réelle $644P + 16Q = 7772$ vaut, puisque $644(7) + 16(204) = 4508 + 3264 = 7772$.) Les autres racines résolvent $7z^2 + 6z + 2 = 0$ :

Sans calculatrice : seul l'arithmétique de $b^2 - 4ac < 0$ et la propriété des conjugués sont utilisés.

Pour $ax^2 + bx + c = 0$ ayant pour racines $\alpha, \beta$ : $\alpha + \beta = -\tfrac ba$ et $\alpha\beta = \tfrac ca$. Les expressions symétriques en $\alpha, \beta$ n'ont alors pas besoin de valeurs individuelles racines : $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$, $\alpha^3 + \beta^3 \equiv (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$, et $\tfrac1\alpha + \tfrac1\beta = \tfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$. Pour construire une nouvelle équation quadratique, exprimez la nouvelle somme et produit en fonction des anciennes ; l'équation est $x^2 - (\text{sum})x + \text{product} = 0$.

Exemple résolu — nouvelles racines sans résolution (WFM01 juin 2025 Q6). $f(x) = 3x^2 + kx - 5$ a pour racines $\alpha, \beta$, donc $\alpha\beta = -\tfrac53$. Si $\alpha + \beta = 9\alpha\beta$, alors $-\tfrac k3 = -15$, donc $k = 45$ et $\alpha + \beta = -15$. Pour les racines $\alpha^2 + \beta$ et $\alpha + \beta^2$ :

La nouvelle équation est $9x^2 - 1920x - 31040 = 0$ (multipliez $x^2 - \tfrac{640}3x - \tfrac{31040}9 = 0$ par 9).

Trois localiseurs itératifs : la bissection et l'interpolation nécessitent une fonction continue dans leur intervalle ; Newton-Raphson exige également une dérivée définie et non nulle à chaque étape et peut ne pas converger. bissection d'intervalle divise en deux un intervalle présentant un changement de signe ; interpolation linéaire traces des cordes reliant $(a, f(a))$ à $(b, f(b))$ et prend le zéro de la corde $\beta \approx a - \dfrac{(b-a)f(a)}{f(b)-f(a)}$ ; la méthode de Newton–Raphson

• (formule donnée dans le livret) itère $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Montrer chaque évaluation — les réponses « calculatrice uniquement » n'obtiennent aucun point.

Exemple résolu — bisection et interpolation (WFM01 juin 2025 Q3). (i) $f(x) = x^2 + 5 - 8^{5x}$ possède une racine unique $\alpha$ dans $[0, 1]$ : $f(0) = 4 > 0$, $f(0.5) = 5.25 - 8^{2.5} = -175.77 < 0$, donc diviser par deux : $f(0.25) = 5.0625 - 8^{1.25} = -8.392 < 0$. Le changement de signe se situe dans $[0, 0.25]$. (ii) $g(x) = 3^{\sin x} - 3\cos x$ (radians) : $g(4) = 2.396 > 0$ et $g(5) = -0.502 < 0$, et $g$ est continue, donc une racine $\beta$ se trouve dans $[4, 5]$. En interpolant une fois : $\beta \approx 4 + \dfrac{2.396}{2.396 + 0.502} = 4.827$ (4 s.f.).

Newton-Raphson (exemple original). Résoudre $x^3 - 2x - 5 = 0$ à partir de $x_0 = 2$ : $f(2) = -1$, $f'(x) = 3x^2 - 2$ donc $f'(2) = 10$ et $x_1 = 2 - \tfrac{-1}{10} = 2.1$ ; puis $f(2.1) = 0.061$, $f'(2.1) = 11.23$, $x_2 = 2.0946$. Les itérations approchent la racine, approximativement $2.09455$ (vérifier : $2.0946^3 - 2(2.0946) - 5 \approx +0.0005$).

La parabole $y^2 = 4ax$ a pour forme paramétrique $x = at^2$, $y = 2at$ ; la hyperbole équilatère $xy = c^2$ a pour $x = ct$, $y = \tfrac ct$. Tangentes et normales proviennent de la dérivation de l'équation cartésienne (la dérivation paramétrique ne s' nécessaire) : $y^2 = 4ax$ donne $\tfrac{dy}{dx} = \tfrac{2a}y = \tfrac1t$ au paramètre $t$, et $xy = c^2$ donne $y = \tfrac{c^2}x$ donc $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{c^2}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$ à $x = ct$.

Exemple résolu — normale à une hyperbole (WFM01 juin 2025 Q4). Pour $xy = 81$ à $P(9t, \tfrac9t)$ : $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{81}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$, donc la normale a pente $t^2$ :

Sur l'axe des $y$, $A = (0, \tfrac{9(1-t^4)}t)$. Avec $t = \tfrac13$ : $P = (3, 27)$ et $A = (0, \tfrac{80}3)$, donc le triangle $OPA$ a pour aire $\tfrac12 \times 3 \times \tfrac{80}3 = 40$.

La parabole est le lieu de points équidistants du foyer $(a, 0)$ et de la directrice $x = -a$. Les distances, et non l'algèbre, débloquent les questions de géométrie.

Exemple résolu — distances foyer-directrice (WFM01 juin 2025 Q9). $P$ se trouve sur la parabole à 5 unités du foyer, donc $P$ est aussi à 5 unités de la directrice ($PF = PM = 5$, avec $PM$ perpendiculaire à la directrice). Les points $Q, R$ sur la directrice vérifient $PQ = PR = 10$. Chaque triangle rectangle $PQM$ donne $QM = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt3$, et $M$ se situe entre $Q$ et $R$, donc $QR = 10\sqrt3$.

Les matrices s'additionnent terme à terme (même forme), se multiplient par un scalaire terme à terme, et se multiplient ligne par colonne ($(\mathbf{AB})_{ik} = \sum_j A_{ij}B_{jk}$ ; $\mathbf{AB} \ne \mathbf{BA}$ en général). Pour $2\times 2$ matrices $\det\mathbf M = ad - bc$ : zéro signifie singulier (pas d'inverse) ; sinon $\mathbf M^{-1} = \dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$, et $\mathbf M\mathbf M^{-1} = \mathbf I$. Les inverses inversent l'ordre : $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$ — annuler d'abord la dernière transformation.

Exemple résolu — une inverse qui doit rester cohérente (WFM01 juin 2025 Q1). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&a\\3&-5\end{pmatrix}$ avec $a \ne -\tfrac53$ :

Étant donné $\mathbf M^{-1} = 2\mathbf M + 8\mathbf I = \begin{pmatrix}10&2a\\6&-2\end{pmatrix}$, comparer les entrées : $\dfrac{-3}{-(5+3a)} = 6$ donne $5 + 3a = \tfrac12$, et chaque autre entrée confirme, donc $a = -\tfrac32$.

Une matrice $2\times 2$ $\mathbf M$ transforme les vecteurs colonnes par $\mathbf y = \mathbf{Mx}$ ; ses colonnes sont les images de $\mathbf i$ et $\mathbf j$ — lire toute transformation directement depuis la matrice. Les résultats standards :

Pour les combinaisons, $\mathbf{AB}$ signifie « appliquer $\mathbf B$ d'abord, puis $\mathbf A$ ». L'inverse transformation l'annule, et $\lvert\det\mathbf M\rvert$ est le facteur d'échelle des aires : les aires se multiplient par le déterminant (les déterminants négatifs ajoutent une réflexion).

Exemple résolu — description et combinaison (WFM01 juin 2025 Q2). $\mathbf P = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ transforme $\mathbf i \to (0,-1)^T$ en $\mathbf j \to (1,0)^T$ : un quart de tour horaire (270° antihoraire) autour de $O$. $\mathbf Q = 5\mathbf I$ est une homothétie de rapport 5 et de centre $O$. Symétrie par rapport à $y = -x$ est $\mathbf R = \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$, donc $A = \mathbf R(4,3)^T = (-3,-4)$. Si $\mathbf Q$ suit $\mathbf P$ et transforme $B$ en $A$, alors $B = \mathbf P^{-1}\mathbf Q^{-1}A = \mathbf P^{-1}\cdot\tfrac15(-3,-4)^T = \tfrac15(4,-3)^T = (0.8, -0.6)$ — l'inverse de $\mathbf P$ est sa transposée, c'est donc uniquement de l'arithmétique.

Avec $\sum_{r=1}^n r = \tfrac12 n(n+1)$ (et $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$ du carnet), toute somme polynomiale se décompose en termes standards — y compris les sommes jusqu'à une limite paire limite $2n$ (substituer $k = 2n$ dans les formules standards) et les sommes décalées telles que $\sum (r+1)^2$.

Exemple résolu — somme jusqu'à 2n (WFM01 juin 2025 Q8a). Montrer $\sum_{r=1}^{2n}(2r^2 - 1) = \tfrac43 n(n+1)(an + b)$:

et $4n^2 + 3n - 1 = (n+1)(4n - 1)$, donc la somme vaut $\tfrac43n(n+1)(4n-1)$ : $a = 4$, $b = -1$. (Vérifier $n = 1$ : $1 + 7 = 8$ et $\tfrac43\cdot1\cdot2\cdot3 = 8$.)

Récurrence prouve une affirmation $P(n)$ pour tous les entiers positifs en trois étapes : vérifier $P(1)$ ; supposer $P(k)$ ; en déduire $P(k+1)$ — puis conclure par « vrai pour $n = 1$, », la vérité pour $n = k$ impliquant la vérité pour $n = k+1$, donc, par récurrence, vrai pour tout entier positif entier $n$ » ». La phrase de conclusion fait partie de la démonstration. Quatre familles évaluées : formules de sommation, divisibilité, suites définies par récurrence et puissances de matrices. formules, divisibilité, suites définies par récurrence et puissances de matrices.

Exemple résolu — une somme (WFM01 juin 2025 Q8b). Démontrer $\sum_{r=1}^n r(3r-2)^2 = \tfrac14 n^2(n+1)(9n-7)$. Pour $n = 1$ : MGD $= 1\cdot1^2 = 1$ et MCD $= \tfrac14\cdot1\cdot2\cdot2 = 1$ — vrai. Supposons vrai pour $n = k$ ; le terme $(k+1)$ est $(k+1)(3k+1)^2$, donc

Développons la parenthèse : $9k^3 - 7k^2 + 36k^2 + 24k + 4 = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$. L'objectif pour $n = k+1$ est $\tfrac14(k+1)^2(k+2)(9k+2)$, et sa parenthèse $(k+1)(k+2)(9k+2)$ se développe en $(k^2+3k+2)(9k+2) = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$ — identique. Donc l'énoncé est vrai pour $n = k+1$, et par récurrence pour tous les entiers positifs $n$.

Divisibilité (exemple original). Démontrer que $n^3 + 2n$ est divisible par 3. Pour $n = 1$ : $3$. Supposons $k^3 + 2k = 3m$ ; alors $(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 = 3(m + k^2 + k + 1)$, toujours un multiple de 3. Par récurrence, vrai pour tout $n$.

Puissances de matrices (exemple original). Démontrer $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$. Vrai pour $n = 1$. Si vrai pour $k$, alors $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^{k+1} = \begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}$, complétant la récurrence.

• Travailler avec $a + bi$ et $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ : module, argument, conjugué ; quotients rendus réels.
• Utiliser les paires conjuguées pour factoriser des polynômes de degré trois et quatre à coefficients réels ; trouver toutes les racines sans calculatrice.
• Convertir les expressions symétriques via $\alpha + \beta$ et $\alpha\beta$ ; former de nouveaux quadratiques pour les racines transformées.
• Localiser les racines par bissection et interpolation linéaire en montrant chaque évaluation ; itérer Newton-Raphson à partir d'une valeur initiale donnée.
• Utiliser les paramètres de $y^2 = 4ax$ et $xy = c^2$ ; tangentes/normales par dérivation cartésienne ; distances foyer-directrice.
• Inverser les matrices $2\times2$ (et $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$) ; résoudre les équations matricielles terme à terme.
• Identifier réflexions, rotations, étirements, agrandissements à partir de matrices ; combiner dans le bon ordre ; utiliser $|\det|$ comme facteur d'échelle d'aire.
• Sommer les séries jusqu'à $n$ et $2n$ avec les formules standards ; démontrer des résultats sur les séries, la divisibilité, la récurrence et les matrices par récurrence avec une phrase de conclusion.