S1 · Statistics 1

Statistiques 1 (S1, paper WST01/01, 1 heure 30 minutes, 75 points, première évaluation juin 2019) est le partenaire de statistiques de M1 en International AS Mathematics ; P1 et P2 sont supposés acquis. Le le livret de formules contient les tableaux statistiques ; les formules ci-dessous sont à retenir. Cela référence couvre la représentation et le résumé des données, la probabilité, la corrélation et la régression, les variables aléatoires discrètes et la loi normale.

À savoir pour S1 (non dans le livret) :

Un modèle statistique est une description simplifiée d'une situation réelle utilisée pour représenter, analyser et prédire. Raisons de l'utiliser : il est plus rapide et moins coûteux que l'expérience réelle, il peut être répété et affiné, et il met en évidence les relations. Connaître les raisons standards — « faire des prédictions » seul ne suffit pas pour obtenir le point.

Dans un histogramme, l'AIRE correspond à la fréquence : la hauteur du barre représente la densité de fréquence $\dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$, donc les classes inégales ont des largeurs inégales, et comparer des barres revient à comparer des densités. Un tiges et feuilles conserve les valeurs originales (dos à dos compare deux groupes). Un diagramme en boîte affiche le minimum, le premier quartile, la médiane, le troisième quartile, le maximum, avec les valeurs aberrantes marquées par des croix séparées selon n'importe quelle règle énoncée par l'énoncé.

Exemple résolu — hauteurs d'histogrammes par rapport (WST01 juin 2025 Q5a). Vitesses de 225 voitures dans classes de largeurs 5, 5, 10, 15, 15 avec des fréquences 54, 90, 60, 15, 6 : les densités sont 10.8, 18, 6, 1, 0.4. La barre la plus haute (25–30, densité 18) est tracée 10 cm de haut, donc le deuxième plus haute (20–25, densité 10.8) mesure $\tfrac{10.8}{18}\times 10 = 6$ cm. Attention : le barre 30–40 a AUSSI la densité 6 — seul le raisonnement par rapport donne les points, pas « 60 ÷ 10 ».

Pour des données groupées, estimer la médiane ou les quartiles par interpolation linéaire à l'intérieur de la classe contenante : $Q_2 = a + w\times\dfrac{\tfrac n2 - F}{f}$. L'écart interquartile est $Q_3 - Q_1$ ; la variance est $\sigma^2 = \dfrac{\sum x^2}n - \bar x^2$ (ou $\dfrac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar x^2$). Combiner des groupes : total $\sum x = \sum n_i\bar x_i$, total $\sum x^2$ s'additionne directement, puis réappliquer les formules. L'écart-type est la racine carrée de la variance. Le codage inverse : si $w = 11.5d$, alors $S_{td} = \dfrac{S_{tw}}{11.5}$ et $S_{dd} = \dfrac{S_{ww}}{11.5^2}$.

Exemple résolu — combinaison de deux classes (WST01 juin 2025 Q2). Classe A : $n = 24$, $\bar x = 47$, $\sum x^2 = 66876$ ; classe B : $n = 30$, $\bar x = b$, $\sum x^2 = 73826$ ; les 54 élèves combinés ont pour moyenne 45. Ensuite $\sum x = 54(45) = 2430$, donc $\sum x_B = 2430 - 24(47) = 1302$ et $b = 43.4$. L'écart-type combiné : $\sigma = \sqrt{\tfrac{66876 + 73826}{54} - 45^2} = \sqrt{580.59\ldots} = 24.1$. Si chaque note de B augmente de 2 : la variance de B reste inchangée (le décalage ne change rien), la moyenne combinée augmente, et la SD combinée diminue — B se rapproche alors de A, ce qui réduit l'écart global du groupe.

Exemple résolu — quartiles par interpolation (WST01 juin 2025 Q5c–d). Avec les fréquences cumulées 54, 144, 204, 219, 225 : la médiane est la valeur 112.5, située entre 25 et 30 : $Q_2 = 25 + 5\times\tfrac{112.5-54}{90} = 28.25$. Le premier quartile $Q_3$ correspond à la valeur 168.75, située entre 30 et 40 : $Q_3 = 30 + 10\times\tfrac{168.75-144}{60} = 34.125$, donc avec $Q_1 = 25.14$ donné, $IQR = 8.985$.

Comparer les distances : $(Q_3 - Q_2)$ versus $(Q_2 - Q_1)$, ou la moyenne versus la médiane. Ici, $5.875 > 3.11$ (et moyenne $30.6 >$ > médiane $28.25$), donc les vitesses sont asymétriques positives (asymétrie vers la droite) — c’est aussi pourquoi un modèle Normal serait rejeté.

Partir de l'espace échantillonnal : lister les résultats plutôt que d'appliquer des formules. Pour deux événements quelconques, $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ et $P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A)$ ; indépendance signifie $P(B\mid A) = P(B)$, ce qui donne la règle du produit. Probabilité conditionnelle inverse l'arbre : $P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Sans remise, les fractions de la deuxième couche diminuent de un au numérateur et au dénominateur.

Exemple résolu — Venn vers conditionnel (WST01 juin 2025 Q4). $P(C\cup D) = 0.59$, $P(D) = 0.45$, $P(C\mid D) = 0.2$. Ensuite, $P(C\cap D) = 0.2 \times 0.45 = 0.09$ et $P(C) = 0.59 + 0.09 - 0.45 = 0.23$ — remplir le diagramme de Venn fait apparaître directement les deux réponses.

Exemple résolu — arbre avec inversion (WST01 juin 2025 Q7). Sac : 3 blanches, 6 jaunes ; deux tirée sans remise. Arbre : $\tfrac69, \tfrac39$, puis $\tfrac58, \tfrac38$ après jaune et $\tfrac68, \tfrac28$ après blanc. Exactement un jaune : $\tfrac69\cdot\tfrac38 + \tfrac39\cdot\tfrac68 = \tfrac12$. Au moins un blanc : $1 - \tfrac69\cdot\tfrac58 = \tfrac7{12}$. Étant donné au moins un blanc, deux blancs : $\dfrac{\tfrac39\cdot\tfrac28}{\tfrac7{12}} = \dfrac1{12}\cdot\dfrac{12}7 = \dfrac17$.

Le coefficient de corrélation linéaire $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ mesure l'association LINÉAIRE ($-1 \le r \le 1$) ; interpréter en contexte. La droite des moindres carrés de $y$ sur $x$ est $y = a + bx$ avec $b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ et $a = \bar y - b\bar x$ — utilisable uniquement pour prédire $y$ À PARTIR DE $x$, et uniquement dans la plage des données (l'extrapolation est le danger signalé). Inverser $x$ et $y$ donne une droite différente.

Exemple résolu — régression codée (WST01 juin 2025 Q3). Avec $w = 11.5d$, $S_{tt} = 26.43$, $S_{tw} = -91.55$, $\sum w = 339.25$, $\sum t = 9.1$, $\sum w^2 = 10036.45$ sur 12 jours : $S_{ww} = 10036.45 - \tfrac{339.25^2}{12} = 445.57$ ; la pmcc $r = \dfrac{-91.55}{\sqrt{26.43 \times 445.57}} = -0.844$ — jours plus chauds, moins de gaz. La régression de $w$ sur $t$ : $b = \tfrac{-91.55}{26.43} = -3.46$, $a = \tfrac{339.25}{12} - (-3.46)\tfrac{9.1}{12} = 30.9$, donc $w = -3.46t + 30.9$ ; diviser à travers par 11.5 pour $d$ sur $t$ : $d = -0.301t + 2.69$. À $t = 2$ : $d = 2.09$ m³, et chaque supplément degré signifie environ $0.3$ m³ de gaz en moins.

Une variable aléatoire discrète prend des valeurs isolées avec des probabilités Espérance $p(x) = P(X = x)$, 1, Attente $E(X) = \sum xp(x)$, $E(X^2) = \sum x^2p(x)$, variance $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. La fonction de répartition cumulative $F(x_0) = P(X \le x_0)$ additionne les probabilités jusqu'à $x_0$. La distribution DISCRÈTE UNIFORME sur $1, \dots, n$ a pour espérance $E(X) = \tfrac{n+1}2$ et variance $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{n^2-1}{12}$.

Exemple résolu — la procédure complète (WST01 juin 2025 Q1). X avec des probabilités 0.3, 0.2, 0.35, 0.15 sur 1–4. $F(3.5) = 0.3+0.2+0.35 = 0.85$. L'inégalité $3X - 3 < X + 2$ se résout en $X < 2.5$, donc $P = 0.5$ — résoudre d'abord pour $X$, puis ajouter. $E(X) = 2.35$, $E(X^2) = 6.65$, $\mathrm{Var}(X) = 6.65 - 2.35^2 = 1.1275$ ; et $\mathrm{Var}(5-2X) = 4(1.1275) = 4.51$ selon la règle de codage.

Pour la loi Normale $X\sim N(\mu, \sigma^2)$, normaliser : calculer $Z = \dfrac{X-\mu}\sigma$ puis lire dans la table. La symétrie effectue la moitié du travail : $P(X > \mu + 2\sigma) = P(Z > 2) = 0.0228$ et $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 1 - 2(0.0228) = 0.9544$. Les problèmes inverses donnent $z$ à partir de la table, puis $x = \mu + z\sigma$ ; deux conditions sur le même $k$ conduisent à un système d'équations simultanées.

Exemple résolu — sacs de farine (WST01 juin 2025 Q6). Petits sacs $X\sim N(502, 3^2)$ : $P(X > 508) = P(Z > 2) = 0.0228$. Sur 4 sacs, exactement 2 dépassent 508 : $6(0.0228)^2(0.9772)^2 = 0.00298$. Grands sacs $Y\sim N(1024, \sigma^2)$ avec le quantile 85 de 1038.51 : $z_{0.85} = 1.0364$, donc $\sigma = \tfrac{14.51}{1.0364} = 14$. Si $P(X > k) = P(Y < 2k)$, puis $\tfrac{k-502}3 = \tfrac{1024-2k}{14}$, donc $14k - 7028 = 3072 - 6k$, $k = 505$, et $p = P(Z > 1) = 0.159$.

• Donner plusieurs raisons pour lesquelles les modèles statistiques sont utilisés ; conserver « bon marché et rapide » ainsi qu'une autre raison.
• Calculer les densités de fréquence pour des classes inégales ; comparer les barres d'histogramme par rapport ; interpoler les quartiles dans la classe correspondante ; identifier les valeurs aberrantes selon la règle spécifiée.
• Combiner des ensembles de données via $\sum x$ et $\sum x^2$ ; inverser le codage sur les statistiques $S$ ; prédire l'effet d'un déplacement ou d'une mise à l'échelle sur la moyenne, la variance et l'écart-type.
• Résoudre des problèmes de probabilité à partir de diagrammes de Venn et d'arbres, avec et sans remise ; inverser les conditions conditionnelles avec $P(A\cap B)/P(A)$.
• Calculer $r$ à partir des statistiques $S$ et l'interpréter ; ajuster une droite de $y = a + bx$ ; prédire uniquement dans la plage de données ; revenir à la variable originale à partir des données codées.
• Exécuter la routine de variable aléatoire discrète (DRV) : les probabilités s'additionnent à 1 ; résoudre les inégalités pour trouver $X$ d'abord, puis $E(X)$, $E(X^2)$, variance, codage linéaire ; citer les résultats de la distribution uniforme.
• Standardiser dans les deux sens pour les questions normales ; utiliser la symétrie ; terminer les problèmes à deux conditions avec un système d'équations simultanées.