S3 · Statistics 3

Statistiques 3 (S3, épreuve WST03/01, 1 heure 30 minutes, 75 points, première évaluation juin 2020) est l'unité finale de statistiques : S1–S2 sont supposés acquis. Le livret contient les tables Normal et khi-deux ainsi que les valeurs critiques de Spearman. Cette référence couvre les combinaisons de variables normales, les méthodes d'échantillonnage, les estimateurs et la distribution de la moyenne échantillonnale, les intervalles de confiance et les tests d'hypothèse pour les moyennes (un et deux échantillons), le test d'adéquation et

Indispensable pour S3 (non inclus dans le livret) :

Les variables Normales indépendantes se combinent en une Normale : additionnez les moyennes, additionnez les coefficients carrés Les variables normales indépendantes se combinent en une normale : on additionne les moyennes, on additionne les coefficients carrés multipliés par les variances. Pour $3S$ où $S \sim N(18, 0.03^2)$ : $3S \sim N(54, 9 \times 0.0009)$ — la moyenne triple mais la variance est multipliée par neuf. Les différences fonctionnent de la même manière : $C_1 - C_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$, et $P(|C_1 - C_2| > c)$ correspond au double de la probabilité unilatérale par symétrie.

Exemple résolu (WST03 juin 2025 Q8). $S \sim N(18, 0.03^2)$, $C \sim N(25, 0.03^2)$, $P \sim N(15, 0.2^2)$ indépendamment (kg). (a) $S_1+S_2+S_3 \sim N(54, 0.0027)$ (é-type 0.05196) : $P(>54.1) = 1 - \Phi(1.924) = 0.0274$. (b) $C_1 - C_2 \sim N(0, 0.0018)$ : $P(|C_1-C_2| > 0.02) = 2(1 - \Phi(0.4714)) = 2 \times 0.3192 = 0.638$. (c) Avec $T = \sum_1^{28} S_i + \sum_1^5 C_i + P_1$, l'événement $T < 30P_1 + 190$ se réorganise en $\sum S_i + \sum C_i - 29P_1 < 190$ — une Normale de moyenne $504 + 125 - 435 = 194$ et variance $28(0.0009) + 5(0.0009) + 29^2(0.04) = 33.6697$, donc $P = \Phi\left(\tfrac{190-194}{5.803}\right) = 1 - 0.7549 = 0.245$.

L'échantillon aléatoire simple donne à chaque membre (et à chaque échantillon de taille $n$) une chance égale ; utiliser des nombres aléatoires sur une grille d'échantillonnage. Échantillonnage systématique prend chaque $x$e membre à partir d'un point de départ aléatoire — par exemple 20 sur 360, $x = 18$ ; il fonctionne bien sur les listes ordonnées et élimine le biais du sélecteur, mais les membres situés dans la même portion ne peuvent jamais apparaître ensemble (les espacements sont fixes). Échantillonnage stratifié divise par strates et échantillonne chacune proportionnellement — optimal lorsque les groupes diffèrent internement. Échantillonnage par quotas remplit des quotas fixés par l'enquêteur sans grille — bon marché mais sensible au biais de l'enquêteur. Citer un avantage et un inconvénient pour chacun. vulnérables aux biais de l'enquêteur. Connaissez un avantage et un inconvénient de chacun.

Une statistique ne contient pas de paramètres de population inconnus. Un estimateur est sans biais si son espérance égale le paramètre ; son biais est l'écart : $\bar X$ pour $\mu$, $s^2 = \dfrac{\sum x_i^2 - n\bar x^2}{n-1}$ pour $\sigma^2$ (la $n-1$ est la correction). Le biais est $\mathrm{E}(\hat\theta) - \theta$ en signe et en amplitude. La moyenne de l'échantillon satisfait $\bar X \sim N\left(\mu, \tfrac{\sigma^2}n\right)$ : des échantillons plus grands réduisent la erreur standard $\sigma/\sqrt n$.

Exemple résolu (WST03 juin 2025 Q6). $R = \tfrac12X_1 + \tfrac34X_{20}$ : $\mathrm{E}(R) = (\tfrac12 + \tfrac34)\mu = \tfrac54\mu \ne \mu$, donc $R$ est biaisé avec un biais $\tfrac\mu4$. Étant donné $S = \tfrac{aX_1 - bX_2}2$ et $T = \tfrac{a\sum_1^{14}X_i + b\sum_{15}^{20}X_i}{20}$ tous deux sans biais : les espérances imposent $a - b = 2$ et $14a + 6b = 20$, donc $a = 1.6$, $b = -0.4$.

Exemple résolu — récupération des paramètres (WST03 juin 2025 Q7). Étant donné $P(\bar X_n < 45.2) = 0.3446$ et $P(\bar X_n > 75.2) = 0.0179$ : les valeurs z sont $-0.4$ and $2.1$, so $\mu - 0.4\tfrac\sigma{\sqrt n} = 45.2$ and $\mu + 2.1\tfrac\sigma{\sqrt n} = 75.2$. Subtracting: $2.5\tfrac\sigma{\sqrt n} = 30$, giving $\sigma = 12\sqrt n$ (SE 12) et $\mu = 45.2 + 4.8 = 50$ ; ensuite $P(\bar X_n > 59) = 1 - \Phi(0.75) = 0.2266$.

Un intervalle de confiance pour $\mu$ (variance connue) est $\bar x \pm z\tfrac{\sigma}{\sqrt n}$ avec $z = 1.96$ (95%), $1.6449$ (unilatéral 95% critique), $2.5758$ (99%). Interprétation : la procédure capture $\mu$ dans 95% des échantillons — pas « la probabilité que μ se trouve à l'intérieur est 0.95 » ». La statistique de test $z = \dfrac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0, 1)$ ; lorsque la variance est inconnue et que $n$ est grand, substituer $s$ (le théorème central limite autorise aussi les non-Normales) populations lorsque $n$ est grand). Les conclusions exposent les preuves dans leur contexte.

Exemple résolu — deux échantillons avec un intervalle (WST03 juin 2025 Q4). Écureuils gris ($n = 80$, $\bar x = 500$, $s_x^2 = 1156$) et écureuils roux ($n = 80$; $\sum y = 23200$, $\sum y^2 = 6741351$, giving $\bar y = 290$ and $s_y^2 = \tfrac{6741351 - 80(290)^2}{79} = 169$). Test $\text{H}_0 : \mu_x - \mu_y = 200$ against $> 200$ à 5% :

on rejette H₀ — la moyenne des gris dépasse de plus de 200 g celle des roux. L'hypothèse de substitution de variance ($\sigma^2 = s^2$ pour chaque population) justifie l'usage de cette formule.

Ajustement du modèle compare les effectifs observés aux effectifs attendus par le modèle : $X^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$. Degrés de liberté = (cellules − 1) − (paramètres estimés à partir des données) : une loi binomiale avec p̂ estimé perd un degré de liberté supplémentaire. Regrouper les cellules de queue dont la fréquence attendue est inférieure à 5 avant toute autre opération. Tableaux de contingence testent l'association entre deux classifications avec $E = \frac{\text{row} \times \text{column}}{\text{total}}$ et $\mathrm{df} = (r-1)(c-1)$.

Exemple résolu — ajustement binomial (WST03 juin 2025 Q5). Mâles dans 250 portées de 5 ($O = 2, 40, 90, 85, 30, 3$) : $\hat p = \tfrac{610}{1250} = 0.488$, donnant la valeur attendue $8.80, 41.92, 79.91, 76.16, 36.30, 6.92$, donc avec les $r$ donnés pour le reste, $\tfrac{(2-8.796)^2}{8.796} = 5.25$, donc avec la $\sum = 5.70$ donnée pour le reste, $X^2 = 10.95$ sur les degrés de liberté $6 - 1 - 1 = 4$ ; la valeur critique 5% 9.488 est dépassée — rejeter : la loi binomiale n'est pas un modèle approprié.

Exemple résolu — association (WST03 juin 2025 Q3). Type de moteur × premier problème timing (250 cars, 3×3): the diesel/month 1–6 cell has $E = \tfrac{35\times36}{250} = 5.04$ and contributes $\tfrac{(10-5.04)^2}{5.04} = 4.88$ ; avec 7.444 pour les huit autres cellules, $X^2 = 12.325 > 9.488$ sur 4 dl — preuve d'une association entre le type de moteur et le moment où les problèmes commencent.

Coefficient de corrélation de rang de Spearman mesure l'accord monotone entre deux classements ; tester $\text{H}_0\colon\rho = 0$ contre le tableau et conclure en mots à propos des classements.

Coefficient de corrélation de rang de Spearman $r_s = 1 - \tfrac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$ mesure l'accord monotone entre deux classements (aucune égalité examinée). Tester $\text{H}_0\colon \rho = 0$ contre une ou deux queues en utilisant la table des valeurs critiques ; conclure en contexte (« preuve insuffisante d'accord positif entre les juges »).

Exemple résolu (WST03 juin 2025 Q2). Deux juges classent 10 prestations : le rang différences donnent $\sum d^2 = 66$, donc $r_s = 1 - \tfrac{6(66)}{990} = 0.6$. Au niveau 1% au niveau unilatéral, la valeur critique est 0.7455 : $0.6 < 0.7455$, donc on ne rejette pas H₀ — preuve insuffisante de corrélation positive entre les classements des juges.

• Combiner des Normales indépendantes (coefficients au carré sur les variances) ; traiter les différences et |différences| par symétrie.
• Nommer et justifier les quatre méthodes d'échantillonnage ; calculer l'espacement systématique et ses propriétés d'impossibilité.
• Vérifier les statistiques pour les paramètres, calculer les espérances de biais, résoudre les équations des estimateurs appairés non biaisés.
• Utiliser SE σ/√n ; récupérer (μ, σ) à partir de deux probabilités de moyennes d'échantillon ; calculer les probabilités pour X̄.
• Construire et interpréter des intervalles de confiance basés sur z ; effectuer des tests un échantillon et deux échantillons avec substitution de variance et théorème central limite énoncé.
• Calculer les fréquences attendues (modèle ou tableau de contingence), combiner les petites cases, soustraire les paramètres estimés des degrés de liberté, comparer avec la table χ².
• Calculer rₛ de Spearman à partir des rangs et tester contre la table avec hypothèses en symboles et conclusion en mots.