Linear and Exponential Functions · Funciones Lineales y Exponenciales
| English | Español |
|---|---|
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | función lineal |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | función exponencial |
| proportional/prəˈpɔːʃənl/ | proporcional |
Add versus multiply, again
- Two savings plans: one adds $\$100$ a year, the other grows by $10\%$ a year.
- At first the flat $\$100$ looks better, but the percentage plan quietly pulls ahead.
- These are the two great patterns of change: linear and exponential.
- They are the continuous cousins of arithmetic and geometric sequences.
Sumar versus multiplicar, de nuevo
- Dos planes de ahorro: uno añade $\$100$ a year, the other grows by $10\%$ al año.
- Al principio la cantidad fija de $\$100$ parece mejor, pero el plan porcentual se va adelantando silenciosamente.
- Estos son los dos grandes patrones del cambio: lineal y exponencial.
- Son los parientes continuos de las sucesiones aritmética y geométrica.
Arithmetic pairs with linear
- An arithmetic sequence adds a constant; a linear function 线性函数 does the same for every input.
- Over each equal step in $x$, a line adds the same amount to $y$ — its constant slope.
- Plot the arithmetic terms and they land right on a straight line.
- Steady addition is the fingerprint of linear change.
La aritmética se empareja con lo lineal
- Una sucesión aritmética suma una constante; una función lineal 线性函数 hace lo mismo para cada entrada.
- En cada paso igual en $x$, una línea suma la misma cantidad a $y$ — su pendiente constante.
- Grafica los términos aritméticos y caerán exactamente sobre una línea recta.
- La suma constante es la huella dactilar del cambio lineal.
Over equal input intervals, a linear function changes by… · Sobre intervalos de entrada iguales, una función lineal cambia…
A line has a constant slope, so equal steps in $x$ add the same amount to $y$ — like an arithmetic sequence. · Una línea tiene una pendiente constante, por lo que pasos iguales en $x$ añaden la misma cantidad a $y$ — como una secuencia aritmética.
Geometric pairs with exponential
- A geometric sequence multiplies by a constant; an exponential function 指数函数 does the same continuously.
- Over each equal step in $x$, an exponential multiplies $y$ by the same factor.
- So the outputs form a geometric sequence: $a, ab, ab^2, ab^3, \dots$
- Steady multiplication is the fingerprint of exponential change.
Lo geométrico se empareja con lo exponencial
- Una sucesión geométrica multiplica por una constante; una función exponencial 指数函数 hace lo mismo de forma continua.
- En cada paso igual en $x$, una exponencial multiplica $y$ por el mismo factor.
- Por eso las salidas forman una sucesión geométrica: $a, ab, ab^2, ab^3, \dots$
- La multiplicación constante es la huella dactilar del cambio exponencial.
Watch an exponential outrun any straight line · Observa cómo una exponencial supera a cualquier línea recta
y = a·bˣ
Raise the base b above 1 and the curve multiplies each step, soon leaving any line behind. Set b below 1 to get decay. · Sube la base b por encima de 1 y la curva se multiplica en cada paso, dejando pronto atrás a cualquier línea. Establece b por debajo de 1 para obtener decrecimiento.
Over equal input intervals, an exponential function changes by… · Sobre intervalos de entrada iguales, una función exponencial cambia…
An exponential multiplies by the same factor each equal step — the continuous version of a geometric sequence. · Una exponencial se multiplica por el mismo factor en cada paso igual — la versión continua de una secuencia geométrica.
Proportional change
- Exponential growth is proportional 成比例 change: each increase is a percentage of the current amount.
- Grow $10\%$ a year and the yearly gain gets bigger as the total gets bigger.
- Linear growth adds the same absolute amount regardless of the current size.
- "Percentage per period" always signals an exponential, never a line.
Cambio proporcional
- El crecimiento exponencial es un cambio proporcional 成比例: cada aumento es un porcentaje de la cantidad actual.
- Si creces $10\%$ al año, la ganancia anual aumenta a medida que el total crece.
- El crecimiento lineal suma la misma cantidad absoluta independientemente del tamaño actual.
- "Porcentaje por periodo" siempre señala una exponencial, nunca una línea.
Exponential change is ____ change: the increase is a fixed percentage of the current amount. · El cambio exponencial es ____ cambio: el aumento es un porcentaje fijo de la cantidad actual.
Proportional change means each step scales with the current value — grow 10% of whatever you have now. · Un cambio proporcional significa que cada paso escala con el valor actual — crece un 10% de lo que tengas ahora.
A population that doubles every year is best modeled by an exponential function. · Una población que se duplica cada año se modela mejor mediante una función exponencial.
Doubling is multiplying by 2 each year — a constant factor over equal intervals, the signature of exponential growth. · Duplicarse es multiplicar por 2 cada año — un factor constante sobre intervalos iguales, la firma del crecimiento exponencial.
Select all · todos true statements. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas.
Adding equal amounts is linear · lineal, not exponential. The other three correctly pair the ideas. · Sumar cantidades iguales es lineal, no exponencial. Las otras tres emparejan correctamente las ideas.
Spotting which model
- Look at how the data changes over equal steps: constant difference → linear; constant ratio → exponential.
- A table helps: subtract to test for linear, divide to test for exponential.
- Over a long enough range, exponential growth beats any linear function, no matter how steep.
- Match the model to the pattern of change before you fit numbers.
Identificar qué modelo
- Observa cómo cambian los datos en pasos iguales: diferencia constante → lineal; razón constante → exponencial.
- Una tabla ayuda: resta para probar si es lineal, divide para probar si es exponencial.
- En un rango lo suficientemente largo, el crecimiento exponencial vence a cualquier función lineal, sin importar lo empinada que sea.
- Empareja el modelo con el patrón de cambio antes de ajustar números.
Do not judge by the first few values. Early on a line can sit above an exponential, so a quick glance misleads. Test the pattern of change — same difference or same ratio — not just the current heights.
No juzgues por los primeros valores. Al principio una línea puede estar por encima de una exponencial, así que una mirada rápida engaña. Prueba el patrón de cambio — misma diferencia o misma razón — no solo las alturas actuales.
A pond's lily pads: $10, 20, 40, 80, \dots$ each day.
- Each day the count is multiplied by $2$ — a constant ratio.
- Constant ratio → an exponential function, not a line.
- Rule: pads $= 10 \cdot 2^{\,d}$, doubling without limit until the pond fills.
Las hojas de lirio de un estanque: $10, 20, 40, 80, \dots$ cada día.
- Cada día el conteo se multiplica por $2$ — una razón constante.
- Razón constante → una función exponencial, no una línea.
- Regla: las hojas $= 10 \cdot 2^{\,d}$, duplicándose sin límite hasta que el estanque se llene.
An arithmetic sequence pairs with a linear function (adds a constant); a geometric sequence pairs with an exponential function (multiplies by a constant). Exponential growth is proportional — a percentage of the current amount — and it eventually overtakes any line.
Una sucesión aritmética se empareja con una función lineal (suma una constante); una sucesión geométrica se empareja con una función exponencial (multiplica por una constante). El crecimiento exponencial es proporcional —un porcentaje de la cantidad actual— y eventualmente supera a cualquier línea.