Exponential Functions · Funciones Exponenciales
| English | Español |
|---|---|
| base/beɪs/ | base |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | función exponencial |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | crecimiento exponencial |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | decaimiento exponencial |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | asíntota horizontal |
| initial value/ɪˈnɪʃl ˈvæljuː/ | valor inicial |
The base decides everything
- Put the variable up in the exponent and a whole new kind of function appears.
- $2^x$ explodes upward; $0.5^x$ melts toward zero.
- One small number — the base — flips growth into decay.
- These exponential functions model populations, money, medicine, and radioactive decay.
La base lo decide todo
- Colocar la variable en el exponente da lugar a un tipo completamente nuevo de función.
- $2^x$ crece exponencialmente; $0.5^x$ decae hacia cero.
- Un pequeño cambio en el número —la base— invierte el crecimiento en decaimiento.
- Estas funciones exponenciales modelan poblaciones, dinero, medicina y desintegración radiactiva.
The shape of an exponential
- An exponential function 指数函数 is $f(x) = a\,b^x$, with base $b > 0$ and $b \neq 1$.
- The variable $x$ is the exponent; the base $b$ is fixed.
- The coefficient $a$ is the output when $x = 0$, since $b^0 = 1$.
- This is completely different from $x^2$, where the variable is the base.
La forma de una exponencial
- Una función exponencial 指数函数 es $f(x) = a\,b^x$, con base $b > 0$ y $b \neq 1$.
- La variable $x$ es el exponente; la base $b$ es fija.
- El coeficiente $a$ es el valor cuando $x = 0$, ya que $b^0 = 1$.
- Esto es completamente diferente a $x^2$, donde la variable es la base.
An exponential function has the form… · Una función exponencial tiene la forma…
The variable sits in the exponent · exponente over a fixed base $b$ — that is what makes it exponential, not polynomial. · La variable se encuentra en el exponente sobre una base fija $b$ — eso es lo que la hace exponencial, no polinomial.
Growth versus decay
- If $b > 1$, each step multiplies by more than one: exponential growth 指数增长.
- If $0 < b < 1$, each step multiplies by less than one: exponential decay 指数衰减.
- The base 底数 alone decides which way the curve goes.
- Growth curves sweep upward; decay curves fall toward the axis.
Crecimiento versus decaimiento
- Si $b > 1$, cada paso multiplica por más de uno: crecimiento exponencial 指数增长.
- Si $0 < b < 1$, cada paso multiplica por menos de uno: decaimiento exponencial 指数衰减.
- Solo la base 底数 decide hacia dónde se dirige la curva.
- Las curvas de crecimiento ascienden; las curvas de decaimiento descienden hacia el eje.
Cross the base past 1 to switch growth and decay · Cruce la base más allá de 1 para alternar entre crecimiento y decrecimiento
y = a·bˣ
Keep b above 1 for growth; drop b below 1 for decay. Notice the curve never touches the x-axis — that is its asymptote. · Mantenga b por encima de 1 para el crecimiento; reduzca b por debajo de 1 para el decrecimiento. Observe que la curva nunca toca el eje x — esa es su asíntota.
For · A favor $f(x) = a\,b^x$ with $a > 0$, the function shows decay when… · Para $f(x) = a\,b^x$ con $a > 0$, la función muestra decrecimiento cuando…
A base between $0$ and · y $1$ shrinks the output each step — exponential decay · decaimiento exponencial. A base above $1$ grows it. · Una base entre $0$ y $1$ reduce la salida en cada paso — decrecimiento exponencial. Una base superior a $1$ la aumenta.
Domain, range, and asymptote
- The domain is all real numbers — you can raise a base to any power.
- With $a > 0$ the range is $y > 0$: the output is always positive.
- The graph has a horizontal asymptote 水平渐近线 at $y = 0$, which it approaches but never touches.
- On the decay side it flattens toward the axis; on the growth side it soars.
Dominio, rango y asíntota
- El dominio son todos los números reales: puedes elevar una base a cualquier potencia.
- Con $a > 0$, el rango es $y > 0$: la salida es siempre positiva.
- La gráfica tiene una asíntota horizontal 水平渐近线 en $y = 0$, a la cual se aproxima pero nunca toca.
- En el lado del decaimiento se aplanan hacia el eje; en el lado del crecimiento ascienden.
The graph of $f(x) = a\,b^x$ has a horizontal ____ at $y = 0$ that it never crosses. · La gráfica de $f(x) = a\,b^x$ tiene una ____ horizontal en $y = 0$ que nunca cruza.
The output gets arbitrarily close to $0$ but never reaches it, giving the horizontal asymptote $y = 0$. · La salida se acerca arbitrariamente a $0$ pero nunca la alcanza, dando lugar a la asíntota horizontal $y = 0$.
Select all · todos true statements about $f(x) = a\,b^x$ (with $a>0,\ b>1$). · Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre $f(x) = a\,b^x$ (con $a>0,\ b>1$).
With $a > 0$ the output is always positive, so it never goes negative. The other three are correct. · Con $a > 0$, la salida es siempre positiva, por lo que nunca va hacia abajo. Las otras tres son correctas.
Reading a and b in context
- The coefficient $a$ is the initial value 初始值 — the amount at time zero.
- The base $b$ is the per-step multiplier: $b = 1.08$ means $8\%$ growth each period.
- A base of $0.9$ means losing $10\%$ each period ($b < 1$, decay).
- Reading these two numbers turns the formula into a real-world story.
Interpretar a y b en contexto
- El coeficiente $a$ es el valor inicial 初始值 — la cantidad en el tiempo cero.
- La base $b$ es el multiplicador por paso: $b = 1.08$ significa un crecimiento del $8\%$ cada periodo.
- Una base de $0.9$ significa una pérdida del $10\%$ cada periodo ($b < 1$, decaimiento).
- Leer estos dos números convierte la fórmula en una historia del mundo real.
In $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$, what does the $500$ represent? · En $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$, ¿qué representa el $500$?
At $t = 0$, $1.08^0 = 1$, so $P = 500$: the coefficient $a$ is the initial value, and $1.08$ is the base (8% growth). · En $t = 0$, $1.08^0 = 1$, entonces $P = 500$: el coeficiente $a$ es el valor inicial, y $1.08$ es la base (crecimiento del 8%).
Do not confuse $a\,b^x$ (exponential) with $x^b$ (power). In $2^x$ the variable is in the exponent and growth is explosive; in $x^2$ the variable is the base and growth is merely polynomial. The exponent is what makes it exponential.
No confundir $a\,b^x$ (exponencial) con $x^b$ (potencia). En $2^x$ la variable está en el exponente y el crecimiento es explosivo; en $x^2$ la variable es la base y el crecimiento es meramente polinomial. Es el exponente lo que hace que sea exponencial.
A $\$500$ deposit grows by $8\%$ a year: $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$.
- Initial value $a = 500$ (the balance at $t = 0$).
- Base $b = 1.08 > 1$, so this is growth of $8\%$ per year.
- After $10$ years: $P = 500 \cdot 1.08^{10} \approx \$1079$.
Un depósito de $\$500$ deposit grows by $8\%$ a year: $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$.
- Valor inicial $a = 500$ (el saldo en $t = 0$).
- Base $b = 1.08 > 1$, por lo tanto es un crecimiento del $8\%$ por año.
- Después de $10$ años: $P = 500 \cdot 1.08^{10} \approx \$1079$.
An exponential function $f(x) = a\,b^x$ puts the variable in the exponent. The base $b$ decides growth ($b>1$) or decay ($0
Una función exponencial $f(x) = a\,b^x$ coloca la variable en el exponente. La base $b$ determina el crecimiento ($b>1$) o el decaimiento ($0