Manipulating Exponential Expressions · Manipulación de Expresiones Exponenciales
| English | Español |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | regla del cociente |
| base/beɪs/ | base |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | regla del producto |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | regla de la potencia |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | equivalente |
The rules for combining powers
- Once the variable lives in the exponent, a small set of rules lets you rearrange anything.
- Multiply powers, divide them, raise a power to a power — each has a shortcut.
- These shortcuts turn scary expressions into simple ones.
- They also let you rewrite an exponential in a more useful form.
Las reglas para combinar potencias
- Una vez que la variable vive en el exponente, un pequeño conjunto de reglas permite reorganizar cualquier expresión.
- Multiplicar potencias, dividirlas, elevar una potencia a otra potencia: cada una tiene un atajo.
- Estos atajos convierten expresiones complicadas en simples.
- También permiten reescribir una exponencial en una forma más útil.
Product and quotient rules
- Multiplying powers of the same base 底数 adds the exponents: the product rule 乘法法则 $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
- Dividing them subtracts the exponents: the quotient rule 除法法则 $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$.
- The base must be the same for either rule to apply.
- These match the intuition: $2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32 = 2^5$.
Reglas de producto y cociente
- Al multiplicar potencias con la misma base base se suman los exponentes: la regla del producto 乘法法则 $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
- Al dividirlos, se restan los exponentes: la regla del cociente 除法法则 $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$.
- La base debe ser la misma para que cualquiera de las reglas se aplique.
- Estas coinciden con la intuición: $2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32 = 2^5$.
Every step to the right multiplies by the base · Cada paso hacia la derecha multiplica por la base
y = a·bˣ
Read the y-value at x = 1, 2, 3. Each is the base times the one before — that is why bˣ⁺¹ = bˣ · b. · Lee el valor en y en x = 1, 2, 3. Cada uno es la base multiplicada por el anterior — por eso bˣ⁺¹ = bˣ · b.
The · El product rule for exponents says $b^m \cdot b^n =$ · La regla del producto para exponentes dice $b^m \cdot b^n =$
Multiplying powers of the same base adds the exponents: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$. · Multiplicar potencias con la misma base suma los exponentes: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
The · El quotient rule says $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$. · La regla del cociente dice $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$.
Dividing powers of the same base subtracts the exponents — the mirror image of the product rule. · Dividir potencias con la misma base resta los exponentes — el espejo de la regla del producto.
The power rule
- Raising a power to another power multiplies the exponents: the power rule 幂法则 $(b^m)^n = b^{mn}$.
- So $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, matching $8^2 = 64$.
- Each unit step to the right on the graph multiplies the output by the base.
- These rules together explain why exponentials grow the way they do.
La regla de potencia
- Elevar una potencia a otra potencia multiplica los exponentes: la regla de potencia 幂法则 $(b^m)^n = b^{mn}$.
- Así $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, coincidiendo con $8^2 = 64$.
- Cada paso unitario hacia la derecha en la gráfica multiplica la salida por la base.
- Juntas, estas reglas explican por qué las exponenciales crecen como lo hacen.
The · El power rule says $(b^m)^n =$ · La regla de la potencia dice $(b^m)^n =$
Raising a power to a power multiplies the exponents: $(b^m)^n = b^{mn}$. · Eleva una potencia a otra potencia multiplica los exponentes: $(b^m)^n = b^{mn}$.
Shifting the exponent
- A shift in the exponent becomes a constant multiplier: $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$.
- So $2^{x+3} = 2^x \cdot 8$ — moving the graph left is the same as scaling it up.
- This links transformations of exponentials to the exponent rules.
- A vertical stretch and a horizontal shift can be the same exponential in disguise.
Desplazando el exponente
- Un desplazamiento en el exponente se convierte en un multiplicador constante: $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$.
- Así $2^{x+3} = 2^x \cdot 8$ — mover la gráfica a la izquierda es lo mismo que escalarla hacia arriba.
- Esto vincula las transformaciones de exponenciales con las reglas del exponente.
- Un estiramiento vertical y un desplazamiento horizontal pueden ser la misma exponencial disfrazada.
Using $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$, we can rewrite $2^{x+3}$ as $2^x$ times ____. · Usando $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$, podemos reescribir $2^{x+3}$ como $2^x$ veces ____.
$2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 2^x \cdot 8$ — a shift in the exponent becomes a constant multiplier. · $2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 2^x \cdot 8$ — un desplazamiento en el exponente se convierte en un multiplicador constante.
Changing the base
- Any exponential can be rewritten with a different base when it helps.
- For example $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ — same function, base $2$ instead of $4$.
- Rewriting to a common base shows two exponentials are equivalent 等价.
- Choose the base that makes the comparison or calculation easiest.
Cambiando la base
- Cualquier exponencial puede reescribirse con una base diferente cuando ayuda.
- Por ejemplo $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ — misma función, base $2$ en lugar de $4$.
- Reescribir a una base común muestra que dos exponenciales son equivalentes 等价.
- Elige la base que haga la comparación o el cálculo más fácil.
Select all · todos correct exponent rules. · Selecciona todas las reglas de exponentes correctas.
You cannot combine $b^m + b^n$ into one power — the rules apply to multiplying and dividing, not adding. The other three are correct. · No puedes combinar $b^m + b^n$ en una sola potencia — las reglas aplican a multiplicar y dividir, no a sumar. Las otras tres son correctas.
The rules apply to multiplying and dividing powers, never to adding them. $b^m + b^n$ does not simplify to $b^{m+n}$ — that is a classic mistake. You can only combine exponents when the powers are multiplied or divided.
Las reglas se aplican a multiplicar y dividir potencias, nunca a sumarlas. $b^m + b^n$ no se simplifica a $b^{m+n}$ — ese es un error clásico. Solo puedes combinar exponentes cuando las potencias se multiplican o dividen.
Simplify $\dfrac{2^{x+3}}{2^x}$.
- Quotient rule: subtract the exponents → $2^{(x+3) - x} = 2^3$.
- So the whole expression equals $2^3 = 8$, a constant.
- The $2^x$ cancels because both terms share the base $2$.
Simplifique $\dfrac{2^{x+3}}{2^x}$.
- Regla del cociente: resta los exponentes → $2^{(x+3) - x} = 2^3$.
- Así toda la expresión es igual a $2^3 = 8$, una constante.
- El $2^x$ se cancela porque ambos términos comparten la base $2$.
The exponent rules let you rearrange powers of the same base: the product rule adds exponents, the quotient rule subtracts, and the power rule multiplies. A shift $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$ turns into a multiplier, and rewriting to a common base shows two expressions are equivalent.
Las reglas del exponente te permiten reorganizar potencias con la misma base: la regla del producto suma exponentes, la regla del cociente resta, y la regla de potencia multiplica. Un desplazamiento $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$ se convierte en un multiplicador, y reescribir a una base común muestra que dos expresiones son equivalentes.