Volume with Washer Method: Revolving Around the x- or y-Axis · Volumen con el Método de Arandelas: Rotación alrededor del eje x o y
| English | Español |
|---|---|
| washer/ˈwɒʃə/ | arandela |
| washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ | método de arandelas |
| inner radius/ˈɪnə ˈreɪdɪəs/ | radio interior |
| outer radius/ˈaʊtə ˈreɪdɪəs/ | radio exterior |
A disc with a hole in it
- When you revolve a region that has a gap between two curves, each slice isn't a solid disc — it's a ring.
- That ring (a disc with a circular hole punched out) is a washer 垫圈.
- Its area is the big circle minus the small circle: $\pi R^2-\pi r^2$.
- Adding up washers is the washer method 垫圈法.
Un disco con un agujero
- Cuando se revuelve una región que tiene un espacio entre dos curvas, cada rebanada no es un disco sólido — es un anillo.
- Ese anillo (un disco al que le han extraído un agujero circular) es una arandela.
- Su área es el círculo grande menos el círculo pequeño: $\pi R^2-\pi r^2$.
- Sumar arandelas es el método de las arandelas.
A washer (rather than a disc) appears when... · Aparece una arandela (en lugar de un disco) cuando...
The gap leaves a hole → a washer. · El espacio deja un agujero → una arandela.
Outer minus inner radius
- Each washer has an outer radius 外半径 $R$ (to the far curve) and an inner radius 内半径 $r$ (to the near curve).
- Its area is $\pi\big(R^2-r^2\big)$, so:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- Revolving about the $x$-axis, $R$ and $r$ are the distances from the two curves to the axis.
Radio exterior menos radio interior
- Cada arandela tiene un radio exterior $R$ (hasta la curva más lejana) y un radio interior $r$ (hasta la curva más cercana).
- Su área es $\pi\big(R^2-r^2\big)$, por lo tanto:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- Al revolver alrededor del eje $x$, $R$ y $r$ son las distancias desde las dos curvas hasta el eje.
Two curves make a ring · Dos curvas forman un anillo
y = ax² + bx
Between $y=x$ and · y $y=\sqrt x$ there is a gap from the axis — revolving makes washers with outer $\sqrt x$, inner $x$. · Entre $y=x$ y $y=\sqrt x$ hay un espacio respecto al eje — la rotación produce arandelas con radio exterior $\sqrt x$, interior $x$.
The washer-method volume is... · El volumen por el método de arandelas es...
Big circle minus small circle: $\pi(R^2-r^2)$. · Círculo grande menos círculo pequeño: $\pi(R^2-r^2)$.
In a washer, $R$ is the ____ radius (to the far curve) and $r$ the inner radius. · En una arandela, $R$ es el radio ____ (hasta la curva lejana) y $r$ el radio interior.
Outer to the far curve, inner to the near curve. · Exterior a la curva lejana, interior a la curva cercana.
Identifying $R$ and $r$
- $R$ (outer) comes from the curve farther from the axis; $r$ (inner) from the nearer curve.
- Revolving the region between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) about the $x$-axis: $R=f(x)$, $r=g(x)$.
- The hole exists because the bottom curve doesn't reach the axis.
- Square each radius separately before subtracting.
Identificar $R$ y $r$
- $R$ (exterior) proviene de la curva más lejos del eje; $r$ (interior) de la curva más cerca.
- Al revolver la región entre $y=f(x)$ (arriba) y $y=g(x)$ (abajo) alrededor del eje $x$: $R=f(x)$, $r=g(x)$.
- El agujero existe porque la curva inferior no llega al eje.
- Eleva al cuadrado cada radio por separado antes de restar.
Revolving the region between $y=\sqrt x$ (top) and $y=x$ (bottom) about the $x$-axis, the outer radius is... · Al rotar la región entre $y=\sqrt x$ (superior) y $y=x$ (inferior) sobre el eje $x$, el radio exterior es...
The farther curve from the axis, $\sqrt x$, is the outer radius. · La curva más lejana al eje, $\sqrt x$, es el radio exterior.
Square first, then subtract
- The area is $\pi(R^2-r^2)$, not $\pi(R-r)^2$ — square each radius before you subtract.
- $(R-r)^2$ would wrongly include a cross term and give the wrong volume.
- So compute $R^2$ and $r^2$ each, subtract, then integrate and multiply by $\pi$.
- This is the single most common washer mistake.
Elevar al cuadrado primero, luego restar
- El área es $\pi(R^2-r^2)$, no $\pi(R-r)^2$ — eleva al cuadrado cada radio antes de restar.
- $(R-r)^2$ incluiría incorrectamente un término cruzado y daría un volumen equivocado.
- Así que calcula $R^2$ y $r^2$ por separado, resta, integra y multiplica por $\pi$.
- Este es el error de arandela más común.
The washer integrand $R^2-r^2$ is the same as $(R-r)^2$. · El integrando de la arandela $R^2-r^2$ es lo mismo que $(R-r)^2$.
Square each radius first; $(R-r)^2$ is wrong. · Eleva cada radio al cuadrado primero; $(R-r)^2$ es incorrecto.
For · A favor $R=\sqrt x$, $r=x$ on $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$ · Para $R=\sqrt x$, $r=x$ en $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$
$\pi(\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{6}$.
The washer integrand is $R^2-r^2$, not $(R-r)^2$ — square the radii before subtracting. And keep $R$ (outer, to the far curve) distinct from $r$ (inner, to the near curve); swapping them, or using $(R-r)^2$, both give wrong volumes. A washer appears only when a gap separates the region from the axis.
El integrando de la arandela es $R^2-r^2$, no $(R-r)^2$ — eleva los radios antes de restar. Y mantén $R$ (exterior, hacia la curva lejana) distinto de $r$ (interior, hacia la curva cercana); intercambiarlos o usar $(R-r)^2$ da volúmenes incorrectos. Una arandela aparece solo cuando hay un espacio que separa la región del eje.
Revolve the region between $y=x$ (bottom) and $y=\sqrt x$ (top) on $[0,1]$ about the $x$-axis.
- Outer radius $R=\sqrt x$, inner radius $r=x$ (on $[0,1]$, $\sqrt x\ge x$).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
Revoluciona la región entre $y=x$ (abajo) y $y=\sqrt x$ (arriba) en $[0,1]$ alrededor del eje $x$.
- Radio exterior $R=\sqrt x$, radio interior $r=x$ (en $[0,1]$, $\sqrt x\ge x$).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
The washer method revolves a region with a gap into rings: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, where $R$ is the outer radius (far curve) and $r$ the inner radius (near curve). Square each radius before subtracting — $R^2-r^2$, never $(R-r)^2$.
El método de las arandelas revoluciona una región con un espacio formando anillos: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, donde $R$ es el radio exterior (curva lejana) y $r$ el radio interior (curva cercana). Eleva al cuadrado cada radio antes de restar — $R^2-r^2$, nunca $(R-r)^2$.