Using the Second Derivative Test to Determine Extrema · Usando la Prueba de la Segunda Derivada para Determinar Extremos
| English | Español |
|---|---|
| Second Derivative Test/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv test/ | Prueba de la segunda derivada |
| inconclusive/ɪŋkənˈkluːsɪv/ | inconclusiva |
Classify an extremum with one number
- The First Derivative Test reads sign changes; the Second Derivative Test 二阶导数判别法 is often quicker.
- At a critical point where $f'(c)=0$, just check the sign of $f''(c)$.
- Concave up at a flat spot → a valley; concave down at a flat spot → a peak.
- One evaluation of $f''$ can settle it — no sign chart needed.
Clasificar un extremo con una sola evaluación
- La Prueba de la Primera Derivada examina cambios de signo; la Prueba de la Segunda Derivada (二阶导数判别法) suele ser más rápida.
- En un punto crítico donde $f'(c)=0$, basta con verificar el signo de $f''(c)$.
- Cóncava hacia arriba en un punto plano → un valle; cóncava hacia abajo en un punto plano → una cima.
- Una única evaluación de $f''$ puede resolverlo: no se necesita tabla de signos.
$f''(c) > 0$: a minimum
- If $f'(c)=0$ and $f''(c)>0$, then $f$ has a relative minimum at $c$.
- Concave up (a cup) with a horizontal tangent = the bottom of a valley.
- Intuition: the slope is zero and increasing, so the curve turns upward.
$f''(c) > 0$: un mínimo
- Si $f'(c)=0$ y $f''(c)>0$, entonces $f$ tiene un mínimo relativo en $c$.
- Cóncava hacia arriba (forma de copa) con tangente horizontal = el fondo de un valle.
- Intuición: la pendiente es cero y creciente, por lo que la curva se curva hacia arriba.
Cup at the min, cap at the max · Copa en el mínimo, cúpula en el máximo
y = ax³ + cx
At the local min the curve is concave up ($f''>0$); at the local max it is concave down ($f''<0$). · En el mínimo local la curva es cóncava hacia arriba ($f''>0$); en el máximo local es cóncava hacia abajo ($f''<0$).
If $f'(c)=0$ and · y $f''(c)>0$, then $c$ is a... · Si $f'(c)=0$ y $f''(c)>0$, entonces $c$ es un...
Concave up at a flat spot = minimum. · Cóncava hacia arriba en un punto plano = mínimo.
$f''(c) < 0$: a maximum
- If $f'(c)=0$ and $f''(c)<0$, then $f$ has a relative maximum at $c$.
- Concave down (a cap) with a horizontal tangent = the top of a hill.
- The slope is zero and decreasing, so the curve turns downward.
$f''(c) < 0$: un máximo
- Si $f'(c)=0$ y $f''(c)<0$, entonces $f$ tiene un máximo relativo en $c$.
- Cóncava hacia abajo (forma de sombrero) con tangente horizontal = la cima de una colina.
- La pendiente es cero y decreciente, por lo que la curva se curva hacia abajo.
If $f'(c)=0$ and · y $f''(c)<0$, then $c$ is a relative ____. · Si $f'(c)=0$ y $f''(c)<0$, entonces $c$ es un relativo ____.
Concave down at a flat spot = maximum. · Cóncava hacia abajo en un punto plano = máximo.
When it says nothing
- If $f''(c)=0$, the test is inconclusive 无法判定 — it gives no answer.
- The point could be a max, a min, or neither (like $y=x^3$ at $0$, or $y=x^4$ at $0$).
- Fall back on the First Derivative Test (sign change of $f'$) in that case.
- So: use the Second Derivative Test first if $f''$ is easy; switch to the first test if $f''(c)=0$.
Cuando no da información
- Si $f''(c)=0$, la prueba es inconclusiva (无法判定): no proporciona respuesta alguna.
- El punto podría ser un máximo, un mínimo o ninguno (como en $y=x^3$ en $0$, o en $y=x^4$ en $0$).
- En ese caso, recurra a la Prueba de la Primera Derivada (cambio de signo de $f'$).
- Por tanto: utilice la Prueba de la Segunda Derivada primero si $f''$ es sencilla; cambie a la primera prueba si $f''(c)=0$.
If $f''(c)=0$, the Second Derivative Test proves there is no extremum at $c$. · Si $f''(c)=0$, la Prueba de la Segunda Derivada demuestra que no hay extremo en $c$.
It is inconclusive — use the First Derivative Test instead. · Es inconcluso — use la Prueba de la Primera Derivada en su lugar.
For · A favor $f(x)=x^3-3x$ ($f''=6x$), classify $x=-1$. · Para $f(x)=x^3-3x$ ($f''=6x$), clasifique $x=-1$.
$f''(-1)=-6<0$ → relative maximum. · $f''(-1)=-6<0$ → máximo relativo.
The Second Derivative Test is applied at a critical point where... · La Prueba de la Segunda Derivada se aplica en un punto crítico donde...
It classifies critical points where the tangent is horizontal, $f'(c)=0$. · Clasifica puntos críticos donde la tangente es horizontal, $f'(c)=0$.
When should you fall back on the First Derivative Test? · ¿Cuándo debe recurrir a la Prueba de la Primera Derivada?
The first test always works; the second is just often faster. · La primera prueba siempre funciona; la segunda solo suele ser más rápida.
The Second Derivative Test needs $f'(c)=0$ first — it classifies critical points where the tangent is horizontal. And $f''(c)=0$ is inconclusive, not "neither": you must then use the First Derivative Test. Don't conclude "no extremum" just because $f''(c)=0$.
La Prueba de la Segunda Derivada requiere que $f'(c)=0$ primero, ya que clasifica puntos críticos donde la tangente es horizontal. Además, $f''(c)=0$ es inconclusivo, no "ninguno"; debe usar entonces la Prueba de la Primera Derivada. No concluya "no hay extremo" simplemente porque $f''(c)=0$.
Classify the critical points of $f(x)=x^3-3x$ using $f''$.
- $f'(x)=3x^2-3=0$ at $x=\pm1$; $\;f''(x)=6x$.
- At $x=1$: $f''(1)=6>0$ → relative minimum.
- At $x=-1$: $f''(-1)=-6<0$ → relative maximum.
Clasifique los puntos críticos de $f(x)=x^3-3x$ usando $f''$.
- $f'(x)=3x^2-3=0$ en $x=\pm1$; $\;f''(x)=6x$.
- En $x=1$: $f''(1)=6>0$ → mínimo relativo.
- En $x=-1$: $f''(-1)=-6<0$ → máximo relativo.
The Second Derivative Test: at a critical point with $f'(c)=0$, $f''(c)>0$ gives a relative minimum and $f''(c)<0$ a relative maximum. If $f''(c)=0$ the test is inconclusive — fall back on the First Derivative Test.
La Prueba de la Segunda Derivada: en un punto crítico con $f'(c)=0$, $f''(c)>0$ indica un mínimo relativo y $f''(c)<0$ un máximo relativo. Si $f''(c)=0$, la prueba es inconclusiva; recorra entonces a la Prueba de la Primera Derivada.