Applying the Power Rule · Aplicación de la Regla de la Potencia
| English | Español |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | potencia |
| Power Rule/ˈpaʊə ruːl/ | Regla de la Potencia |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | entero |
A shortcut that replaces the limit
- Computing every derivative from the limit definition is slow. There's a pattern.
- For powers of $x$, one rule does it instantly: the Power Rule 幂法则.
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- "Bring the exponent down as a coefficient, then subtract one from the exponent."
Un atajo que reemplaza al límite
- Calcular cada derivada desde la definición de límite es lento. Existe un patrón.
- Para las potencias de $x$, una regla lo hace al instante: la Regla de la Potencia.
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- "Baja el exponente como coeficiente, luego resta uno al exponente."
A power and its tangent slope · Una potencia y su pendiente tangente
y = x²
For · A favor $y=x^2$ the power rule gives slope $2x$ — move the point and check the tangent slope matches $2x$. · Para $y=x^2$, la regla de la potencia da una pendiente de $2x$ — mueve el punto y verifica que la pendiente tangente coincida con $2x$.
Watch it work
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — the $3$ drops in front, the exponent goes $3\to2$.
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — the derivative of $x$ is $1$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- It matches the limit definition (we found $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$) but takes one line.
Observa cómo funciona
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — el $3$ baja al frente, el exponente pasa de $3\to2$.
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — la derivada de $x$ es $1$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- Coincide con la definición de límite (encontramos $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$) pero toma solo una línea.
What is $\dfrac{d}{dx}[x^5]$? · ¿Cuál es $\dfrac{d}{dx}[x^5]$?
Bring down $5$, reduce exponent: $5x^{5-1}=5x^4$. · Bajar el $5$, reducir el exponente: $5x^{5-1}=5x^4$.
If $f(x)=x^4$, find $f'(2)$. · Si $f(x)=x^4$, encuentra $f'(2)$.
$f'(x)=4x^3$, so $f'(2)=4\cdot8=32$. · $f'(x)=4x^3$, por lo tanto $f'(2)=4\cdot8=32$.
It works for any exponent
- $n$ can be a negative or a rational (fractional) exponent, not just a positive integer 整数.
- Negative: $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$.
- Rational: $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$.
- Same rule every time — bring down $n$, reduce the exponent by one.
Funciona para cualquier exponente
- $n$ puede ser un exponente negativo o racional (fraccionario), no solo un entero positivo.
- Negativo: $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$.
- Racional: $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$.
- La misma regla cada vez: baja $n$, reduce el exponente en uno.
$\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. The exponent $\square$ is ____. · $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. El exponente $\square$ es ____.
Reduce $-2$ by one: $-2-1=-3$. · Reducir $-2$ en uno: $-2-1=-3$.
The Power Rule differentiates which of these directly (after rewriting)? · La Regla de la Potencia deriva directamente cuál de estas (después de reescribir)?
All are powers of $x$ after rewriting; $5^x$ is an exponential, not a power of $x$. · Todas son potencias de $x$ después de reescribir; $5^x$ es una función exponencial, no una potencia de $x$.
Rewrite first, then differentiate
- Radicals and reciprocals hide powers — rewrite them as $x^n$ before applying the rule.
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$, so $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$, so $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$.
- Turning every term into a power is the key setup step.
Reescribe primero, luego deriva
- Los radicales y recíprocos ocultan potencias; reescríbelos como $x^n$ antes de aplicar la regla.
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$, por lo tanto $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$, por lo tanto $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$.
- Convertir cada término en una potencia es el paso previo clave.
Rewrite and differentiate: $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$ equals... · Reescribe y deriva: $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$ es igual a...
$\sqrt x=x^{1/2}\Rightarrow \tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac1{2\sqrt x}$.
The Power Rule applies to $2^x$, giving $x\cdot 2^{x-1}$. · La Regla de la Potencia se aplica a $2^x$, dando $x\cdot 2^{x-1}$.
The Power Rule needs a variable base with constant exponent; $2^x$ is an exponential (next lesson). · La Regla de la Potencia necesita una base variable con exponente constante; $2^x$ es una función exponencial (siguiente lección).
The Power Rule is for a variable base with a constant exponent ($x^n$). It does not apply to a constant base with a variable exponent — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$. (That is an exponential, handled in the next lesson.) And don't forget to reduce the exponent: $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$, not $-2x^{-2}$.
La Regla de la Potencia es para una base variable con un exponente constante ($x^n$). No se aplica a una base constante con un exponente variable — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$. (Eso es una exponencial, que se tratará en la próxima lección.) Y no olvides reducir el exponente: $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$, no $-2x^{-2}$.
Differentiate $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$.
- Rewrite as powers: $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$.
- Power rule term by term: $\tfrac23 x^{-1/3}$ and $-1\cdot x^{-2}$.
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
Deriva $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$.
- Reescribe como potencias: $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$.
- Aplica la regla de la potencia término a término: $\tfrac23 x^{-1/3}$ y $-1\cdot x^{-2}$.
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
The Power Rule $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$ works for any constant exponent — integer, negative, or rational. Rewrite radicals and reciprocals as powers first, then bring the exponent down and reduce it by one. It replaces the limit definition for power functions.
La Regla de la Potencia $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$ funciona para cualquier exponente constante — entero, negativo o racional. Reescribe los radicales y recíprocos como potencias primero, luego baja el exponente y redúcelo en uno. Reemplaza a la definición de límite para funciones potenciales.