Derivative Rules: Constant, Sum, Difference, and Constant Multiple · Reglas de Derivada: Constante, Suma, Diferencia y Múltiplo Constante
| English | Español |
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| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinómica |
Four rules that break a polynomial apart
- The Power Rule handles one term. To differentiate a whole polynomial 多项式 you need to combine terms.
- Four simple rules let you do it term by term, in your head.
- They cover constants, sums, differences, and coefficients.
- Together with the Power Rule, they differentiate any polynomial in one pass.
Cuatro reglas para descomponer un polinomio
- La Regla de la Potencia se aplica a un solo término. Para derivar un polinomio completo, necesitas combinar los términos.
- Cuatro reglas simples te permiten hacerlo término por término, mentalmente.
- Cubren constantes, sumas, diferencias y coeficientes.
- Juntas con la Regla de la Potencia, permiten derivar cualquier polinomio en una sola pasada.
Constant, sum, and difference
- Constant rule: the derivative of a constant is $0$. A flat line has zero slope: $\dfrac{d}{dx}[7]=0$.
- Sum rule: $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+g'$ — differentiate each piece and add.
- Difference rule: $\dfrac{d}{dx}[f-g]=f'-g'$ — same, with a minus.
- So you can split a long expression and handle each term separately.
Constante, suma y diferencia
- Regla de la constante: la derivada de una constante es $0$. Una línea horizontal tiene pendiente cero: $\dfrac{d}{dx}[7]=0$.
- Regla de la suma: $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+g'$ — deriva cada parte y súmalas.
- Regla de la diferencia: $\dfrac{d}{dx}[f-g]=f'-g'$ — lo mismo, pero restando.
- Así puedes separar una expresión larga y manejar cada término por separado.
What is $\dfrac{d}{dx}[12]$? · ¿Cuál es $\dfrac{d}{dx}[12]$?
The derivative of any constant is $0$. · La derivada de cualquier constante es $0$.
By the sum rule, $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+$ ____. · Por la regla de la suma, $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+$ ____.
Differentiate each piece and add. · Diferencia cada parte y súmalas.
Constant multiple
- Constant multiple rule: a coefficient just rides along: $\dfrac{d}{dx}[k\,f]=k\,f'$.
- $\dfrac{d}{dx}[5x^3]=5\cdot 3x^2=15x^2$.
- The number out front is untouched by differentiation; only the $x$-part changes.
- Combine with the sum rule: $\dfrac{d}{dx}[5x^3-4x]=15x^2-4$.
Multiplo constante
- Regla del multiplo constante: un coeficiente simplemente se mantiene: $\dfrac{d}{dx}[k\,f]=k\,f'$.
- $\dfrac{d}{dx}[5x^3]=5\cdot 3x^2=15x^2$.
- El número que está al frente permanece intacto; solo cambia la parte con $x$.
- Combínalo con la regla de la suma: $\dfrac{d}{dx}[5x^3-4x]=15x^2-4$.
A cubic and its changing slope · Un cúbico y su pendiente cambiante
y = ax³ + bx
The derivative of a polynomial is another polynomial — drag the coefficients and picture where the slope is positive or negative. · La derivada de un polinomio es otro polinomio — arrastra los coeficientes y visualiza dónde la pendiente es positiva o negativa.
If $f(x)=5x^3$, find $f'(2)$. · Si $f(x)=5x^3$, encuentra $f'(2)$.
$f'(x)=15x^2$, so $f'(2)=15\cdot4=60$. · $f'(x)=15x^2$, por lo tanto $f'(2)=15\cdot4=60$.
For · A favor $\dfrac{d}{dx}[4x^2+3x-8]$, select all · todos correct term derivatives. · Para $\dfrac{d}{dx}[4x^2+3x-8]$, selecciona todas las derivadas de términos correctas.
The constant $-8$ differentiates to $0$, not $-8$. · La constante $-8$ se deriva a $0$, no a $-8$.
Differentiate a polynomial in one pass
- Read the polynomial term by term, applying the Power Rule and coefficients as you go.
- $\dfrac{d}{dx}[3x^4-2x^2+7x-9]=12x^3-4x+7-0=12x^3-4x+7$.
- Notice the constant $-9$ vanishes, and the $7x$ becomes just $7$.
- With practice you write the derivative directly, no scratch work.
Derivar un polinomio en una sola pasada
- Lee el polinomio término por término, aplicando la Regla de la Potencia y los coeficientes conforme avanzas.
- $\dfrac{d}{dx}[3x^4-2x^2+7x-9]=12x^3-4x+7-0=12x^3-4x+7$.
- Nota que la constante $-9$ desaparece, y el término $7x$ se convierte simplemente en $7$.
- Con práctica, puedes escribir la derivada directamente sin hacer cálculos auxiliares.
Differentiate $f(x)=3x^4-2x^2+7x-9$. · Diferencia $f(x)=3x^4-2x^2+7x-9$.
Term by term: $12x^3$, $-4x$, $+7$, and the constant $\to 0$. · Término a término: $12x^3$, $-4x$, $+7$, y la constante $\to 0$.
The sum rule lets you compute $\dfrac{d}{dx}[f\cdot g]$ as $f'\cdot g'$. · La regla de la suma te permite calcular $\dfrac{d}{dx}[f\cdot g]$ como $f'\cdot g'$.
Sum/difference rules split across $+$ and · y $-$ only; a product needs the Product Rule. · Las reglas de suma/diferencia se aplican solo entre $+$ y $-$; un producto requiere la Regla del Producto.
There is no "product rule shortcut" hiding here: $\frac{d}{dx}[f\cdot g]$ is not $f'\cdot g'$. The sum/difference rules split across $+$ and $-$ only. Products and quotients need their own rules (lessons 2.8–2.9). Also, the derivative of a constant is $0$, not the constant itself.
No existe ninguna "atajo de la regla del producto" aquí: $\frac{d}{dx}[f\cdot g]$ no es igual a $f'\cdot g'$. Las reglas de suma/diferencia se aplican a través de $+$ y $-$ solo. Los productos y cocientes requieren sus propias reglas (lecciones 2.8–2.9). Además, la derivada de una constante es $0$, no la propia constante.
Differentiate $p(x)=6x^3+\dfrac{4}{x^2}-x+10$.
- Rewrite: $p(x)=6x^3+4x^{-2}-x+10$.
- Term by term: $6\cdot3x^2$, $4\cdot(-2)x^{-3}$, $-1$, and $0$.
- $p'(x)=18x^2-8x^{-3}-1=18x^2-\dfrac{8}{x^3}-1$.
Deriva $p(x)=6x^3+\dfrac{4}{x^2}-x+10$.
- Reescribe: $p(x)=6x^3+4x^{-2}-x+10$.
- Término por término: $6\cdot3x^2$, $4\cdot(-2)x^{-3}$, $-1$ y $0$.
- $p'(x)=18x^2-8x^{-3}-1=18x^2-\dfrac{8}{x^3}-1$.
Four combining rules: constant $\to 0$; sum/difference differentiate term by term; constant multiple keeps the coefficient out front ($\frac{d}{dx}[kf]=kf'$). With the Power Rule these differentiate any polynomial in a single pass — but they split only across $+$ and $-$, never across a product.
Cuatro reglas combinadas: constante $\to 0$; suma/diferencia derivan término por término; multiplo constante mantiene el coeficiente al frente ($\frac{d}{dx}[kf]=kf'$). Junto con la Regla de la Potencia, estas permiten derivar cualquier polinomio en una sola pasada, pero solo se aplican a través de $+$ y $-$, nunca a través de un producto.