Linear motion under a variable force · Movimiento lineal bajo una fuerza variable
| English | Español |
|---|---|
| drag/dræɡ/ | arrastrar |
| position/pəˈzɪʃn/ | la posición |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | regla de la cadena |
| separable/ˈsepərəbl/ | separable |
| separate/ˈseprət/ | separar |
| integrate/ˈɪntɪɡreɪt/ | integras |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | condición de contorno |
When the force keeps changing
- Gravity near Earth is roughly constant — but the pull of a planet, the drag 阻力 on a car, or a magnetic force all change with position 位置.
- A force that depends on where you are needs a cleverer form of Newton's law.
Cuando la fuerza cambia constantemente
- La gravedad cerca de la Tierra es aproximadamente constante, pero la atracción de un planeta, la resistencia 阻力 de un automóvil o una fuerza magnética cambian con la posición 位置.
- Una fuerza que depende de dónde te encuentras requiere una forma más sofisticada de la ley de Newton.
Acceleration as a function of position
- When the force (and so the acceleration) depends on position $x$, rewrite acceleration as:
- This comes from the chain rule 链式法则: $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
When force varies with position, the work done is the area under the F–x graph
Aceleración como función de la posición
- Cuando la fuerza (y por tanto la aceleración) depende de la posición $x$, reescribe la aceleración como:
- Esto proviene de la regla de la cadena 链式法则: $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
Cuando la fuerza varía con la posición, el trabajo realizado es el área bajo la gráfica F–x
Work from a variable force · Trabajo de una fuerza variable
W = ∫ F dx
When the force changes, the work done is the area · área under the force–distance graph. · Cuando la fuerza cambia, el trabajo realizado es el área bajo la gráfica de fuerza–distancia.
When a force depends on position x, acceleration is best written as: · Cuando una fuerza depende de la posición x, la aceleración se escribe mejor como:
a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — convenient when force depends on x. · a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — conveniente cuando la fuerza depende de x.
The identity a = v dv/dx comes from the ______ rule. · La identidad a = v dv/dx proviene de la regla de ______.
dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx by the chain rule. · dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx por la regla de la cadena.
Turning F = ma into a differential equation
- Substituting gives $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — a separable 可分离 differential equation linking $v$ and $x$.
- Separate 分离 the variables ($v\,dv$ on one side, $x$ on the other) and integrate 积分.
When to use which form. Force depends on time → use $a = \dfrac{dv}{dt}$. Force depends on position → use $a = v\dfrac{dv}{dx}$. Choosing the right one is half the battle.
Convertir F = ma en una ecuación diferencial
- Al sustituir se obtiene $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — una ecuación diferencial separable 可分离 que vincula $v$ y $x$.
- Separa 分离 las variables ($v\,dv$ de un lado, $x$ del otro) e integra 积分.
Cuándo usar cada forma. Si la fuerza depende del tiempo → usa $a = \dfrac{dv}{dt}$. Si la fuerza depende de la posición → usa $a = v\dfrac{dv}{dx}$. Elegir la correcta es medio camino hacia la solución.
Substituting a = v dv/dx into F = ma gives a separable differential equation in v and x. · Sustituyendo a = v dv/dx en F = ma se obtiene una ecuación diferencial separable en v y x.
F(x) = mv dv/dx separates into v dv and an x-expression, then integrate. · F(x) = mv dv/dx se separa en v dv y una expresión en x, luego se integra.
If instead the force depends on time t, the natural form for acceleration is: · Si en cambio la fuerza depende del tiempo t, la forma natural para la aceleración es:
Time-dependent force → a = dv/dt; position-dependent → a = v dv/dx. · Fuerza dependiente del tiempo → a = dv/dt; dependiente de la posición → a = v dv/dx.
The method
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- Write $F = ma$ with $a = v\dfrac{dv}{dx}$.
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- Separate: gather $v$ terms with $dv$, $x$ terms with $dx$.
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- Integrate both sides, then apply the boundary conditions 边界条件 to find $v$ as a function of $x$.
- When the force depends on position, treat it as a variable force with $a=v\,dv/dx$.
El método
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- Escribe $F = ma$ con $a = v\dfrac{dv}{dx}$.
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- Separa: agrupa los términos con $v$ junto a $dv$ y los términos con $x$ junto a $dx$.
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- Integra ambos lados, luego aplica las condiciones de contorno 边界条件 para encontrar $v$ como función de $x$.
- Cuando la fuerza depende de la posición, tratala como una fuerza variable con $a=v\,dv/dx$.
Put the steps for solving motion under a position-dependent force in order. · Ordena los pasos para resolver el movimiento bajo una fuerza dependiente de la posición.
Set up with v dv/dx, separate, integrate, then use the conditions to fix the constant. · Plantea con v dv/dx, separa, integra, luego usa las condiciones para fijar la constante.
You've got it
- for a position-dependent force, use $a = v\dfrac{dv}{dx}$ (from the chain rule)
- this makes $F = ma$ a separable differential equation in $v$ and $x$
- separate and integrate to find $v$ as a function of $x$
Ya lo dominas
- Para una fuerza dependiente de la posición, usa $a = v\dfrac{dv}{dx}$ (de la regla de la cadena).
- Esto convierte $F = ma$ en una ecuación diferencial separable en $v$ y $x$.
- Separa e integra para encontrar $v$ como función de $x$.