Matrices (Further Pure 2)
| English | Español |
|---|---|
| stretch/stretʃ/ | estiramiento |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | vector propio |
| eigenvalue/ˈaɪdʒənvæljuː/ | valor propio |
| diagonalisation/daɪˌæɡənəlaɪˈzeɪʃn/ | diagonalización |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | ecuación matricial |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | ecuación característica |
| scalar/ˈskeɪlə/ | escalar |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | matriz diagonal |
The hidden directions in a matrix
- Every matrix transforms space. Some directions are special: the matrix only stretches 拉伸 them, without rotating. These are the eigenvectors 特征向量, and the stretch factors are the eigenvalues 特征值.
- Eigenvalues unlock the structure of a matrix — they're the key to diagonalisation 对角化, stability analysis, and Google's PageRank algorithm.
Direcciones ocultas en una matriz
- Toda matriz transforma el espacio. Algunas direcciones son especiales: la matriz solo las estira 拉伸 sin rotarlas. Estas son los vectores propios 特征向量, y los factores de estiramiento son los valores propios 特征值.
- Los valores propios revelan la estructura de una matriz: son la clave para la diagonalización 对角化, el análisis de estabilidad y el algoritmo PageRank de Google.
Matrix equations 矩阵方程
- Three linear equations in three unknowns → a matrix equation $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. A non-singular $A$ gives one unique solution: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.
Worked example. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. Solving: $2x + y = 5$ and $x + 3y = 7$. Solution: $x = \dfrac{8}{5}$, $y = \dfrac{9}{5}$.
An eigenvector keeps its direction under the matrix; a general vector is turned
Ecuaciones matriciales 矩阵方程
- Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas → una ecuación matricial $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Una matriz $A$ no singular ofrece una solución única: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.
Ejemplo resuelto. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. Resolviendo: $2x + y = 5$ y $x + 3y = 7$. Solución: $x = \dfrac{8}{5}$, $y = \dfrac{9}{5}$.
Un vector propio mantiene su dirección bajo la matriz; un vector general se rota
Matrices (Further Pure 2)
(x', y') = M(x, y)
Rotations, reflections and shears are all matrices — read them off the transformed basis vectors. · Las rotaciones, reflexiones y cizalladuras son matrices — léalas a partir de los vectores base transformados.
Eigenvalues and eigenvectors
- The characteristic equation 特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ gives the eigenvalues $\lambda$.
- For each $\lambda$, the eigenvector $\mathbf{v}$ satisfies $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
- Multiplying an eigenvector by $A$ only stretches it (by factor $\lambda$), without changing its direction.
Eigenvectors are not unique. If $\mathbf{v}$ is an eigenvector, so is $k\mathbf{v}$ for any non-zero scalar 标量 $k$. We usually choose the simplest form (smallest integers).
Valores y vectores propios
- La ecuación característica 特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ proporciona los valores propios $\lambda$.
- Para cada $\lambda$, el vector propio $\mathbf{v}$ satisface $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
- Al multiplicar un vector propio por $A$, este solo se estira (por un factor $\lambda$), sin cambiar su dirección.
Los vectores propios no son únicos. Si $\mathbf{v}$ es un vector propio, entonces $k\mathbf{v}$ también lo es para cualquier escalar 标calar $k$ distinto de cero. Generalmente se elige la forma más simple (menores enteros).
The matrix [[2,1],[1,2]] has characteristic equation (2−λ)² − 1 = 0, giving λ = 1 or λ = 3. What is the larger eigenvalue? · La matriz [[2,1],[1,2]] tiene ecuación característica (2−λ)² − 1 = 0, lo que da λ = 1 o λ = 3. ¿Cuál es el autovalor mayor?
(2−λ)² = 1 → 2−λ = ±1 → λ = 1 or 3; the larger is 3. · (2−λ)² = 1 → 2−λ = ±1 → λ = 1 o 3; el mayor es 3.
The eigenvalues of a matrix A are found by solving: · Los autovalores de una matriz A se encuentran resolviendo:
The characteristic equation det(A − λI) = 0 gives the eigenvalues. · La ecuación característica det(A − λI) = 0 da los autovalores.
Multiplying an eigenvector by A only stretches it (Av = λv). · Multiplicar un autovector por A solo lo estira (Av = λv).
An eigenvector keeps its direction; A just scales it by the eigenvalue λ. · Un autovector mantiene su dirección; A simplemente lo escala por el autovalor λ.
If v is an eigenvector of A, then 2v is also an eigenvector of A. · Si v es un autovector de A, entonces 2v también es un autovector de A.
Eigenvectors are not unique — any non-zero scalar multiple of an eigenvector is also an eigenvector. · Los autovectores no son únicos — cualquier múltiplo escalar distinto de cero de un autovector también es un autovector.
Diagonalisation
- You can write $A = QDQ^{-1}$, where $D$ is a diagonal matrix 对角矩阵 of eigenvalues and the columns of $Q$ are the eigenvectors.
- This makes computing $A^n$ easy: $A^n = QD^nQ^{-1}$, and $D^n$ is just the diagonal entries raised to the $n$th power.
Diagonalización
- Se puede escribir $A = QDQ^{-1}$, donde $D$ es una matriz diagonal 对角矩阵 de valores propios y las columnas de $Q$ son los vectores propios.
- Esto facilita calcular $A^n$: $A^n = QD^nQ^{-1}$, y $D^n$ consiste simplemente en elevar las entradas diagonales a la potencia $n$.
In the diagonalisation A = QDQ⁻¹, the matrix D contains: · En la diagonalización A = QDQ⁻¹, la matriz D contiene:
D is a diagonal matrix with the eigenvalues of A on its main diagonal. · D es una matriz diagonal con los autovalores de A en su diagonal principal.
If A = QDQ⁻¹, then A³ = QD³Q⁻¹. If D has diagonal entries 1 and 3, D³ has diagonal entries 1 and ? · Si A = QDQ⁻¹, entonces A³ = QD³Q⁻¹. Si D tiene entradas diagonales 1 y 3, D³ tiene entradas diagonales 1 y ?
D³ has diagonal entries 1³ = 1 and 3³ = 27. · D³ tiene entradas diagonales 1³ = 1 y 3³ = 27.
Worked example
- $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Characteristic equation: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ or $3$.
- For $\lambda = 1$: eigenvector $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. For $\lambda = 3$: eigenvector $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
- A matrix with zero determinant has a singularity (it is singular and has no inverse).
Ejemplo resuelto
- $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Ecuación característica: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ o $3$.
- Para $\lambda = 1$: vector propio $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Para $\lambda = 3$: vector propio $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
- Una matriz con determinante nulo presenta una singularidad (es singular y no tiene inversa).
You've got it
- eigenvalues solve $\det(A - \lambda I) = 0$; eigenvectors satisfy $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$
- multiplying an eigenvector by $A$ only stretches it
- diagonalise: $A = QDQ^{-1}$ (D = eigenvalues, Q's columns = eigenvectors)
Lo has entendido
- Valores propios: resuelven $\det(A - \lambda I) = 0$; Vectores propios: satisfacen $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$
- Multiplicar un vector propio por $A$ solo lo estira
- Diagonalizar: $A = QDQ^{-1}$ (D = valores propios, columnas de Q = vectores propios)