Differentiation (Further Pure 2) · Diferenciación (Matemáticas Avanzadas 2)
| English | Español |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinómica |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | Series de Maclaurin |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | derivación |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | hiperbólico |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | coeficiente |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | intervalo de convergencia |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | divergir |
How does a calculator find eˣ?
- Your calculator can't "do" $e^{0.7}$ directly — there's no button-press that knows it.
- Instead it adds up a few terms of a polynomial 多项式 that mimics $e^x$ near zero.
- That polynomial is a Maclaurin series 麦克劳林级数 — and building one starts with repeated differentiation 微分.
¿Cómo calcula una calculadora eˣ?
- Tu calculadora no puede "hacer" $e^{0.7}$ directamente — no hay un botón que lo sepa.
- En su lugar, suma algunos términos de un polinomio 多项式 que imita a $e^x$ cerca de cero.
- Ese polinomio es una serie de Maclaurin 麦克劳林级数 — y construirla comienza con derivadas repetidas 微分.
New derivatives to know
- Further Pure 2 adds derivatives of the hyperbolic 双曲 and inverse functions:
| function | derivative |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- You can also find $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ for implicit and parametric curves.
Each extra Maclaurin term hugs e^x over a wider range
Nuevas derivadas que debes conocer
- Further Pure 2 añade las derivadas de funciones hiperbólicas 双曲 e invertidas:
| función | derivada |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- También puedes encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para curvas implícitas y paramétricas.
Cada término adicional de Maclaurin se ajusta a e^x en un rango más amplio
The gradient at a point · La pendiente en un punto
gradient = dy/dx · pendiente = dy/dx
The · El derivative is the slope of the tangent · tangente, however exotic the function. · La derivada es la pendiente de la recta tangente, sin importar lo exótica que sea la función.
The derivative of sinh x is: · La derivada de sinh x es:
d/dx(sinh x) = cosh x (and d/dx(cosh x) = sinh x). · d/dx(sinh x) = cosh x (y d/dx(cosh x) = sinh x).
The derivative of tan⁻¹x is 1/(1+x²). What is its value at x = 0? · La derivada de tan⁻¹x es 1/(1+x²). ¿Cuál es su valor en x = 0?
1/(1+0²) = 1.
Match each function to its derivative. · Asocia cada función con su derivada.
The hyperbolic pair swap (no minus sign, unlike sin/cos); the inverse trig derivatives are the standard rational/surd forms. · El par hiperbólico intercambia (sin signo negativo, a diferencia de sin/cos); las derivadas trigonométricas inversas son las formas racionales/radicales estándar.
Maclaurin's series
- A Maclaurin series rebuilds a function as an infinite polynomial using its derivatives at $0$:
- Each coefficient 系数 needs the next derivative, evaluated at $x = 0$.
La serie de Maclaurin
- Una serie de Maclaurin reconstruye una función como un polinomio infinito usando sus derivadas en $0$:
- Cada coeficiente 系数 necesita la siguiente derivada, evaluada en $x = 0$.
In a Maclaurin series, the constant term is f(0). For f(x) = eˣ, what is f(0)? · En una serie de Maclaurin, el término constante es f(0). Para f(x) = eˣ, ¿cuál es f(0)?
e⁰ = 1, so the constant term is 1. · e⁰ = 1, por lo tanto el término constante es 1.
In the Maclaurin series, the coefficient of xⁿ has n-factorial (written n!) in the ______. · En la serie de Maclaurin, el coeficiente de xⁿ tiene n-factorial (escrito n!) en el ______.
The xⁿ term is f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ — the n! is in the denominator. · El término xⁿ es f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ — el n! está en el denominador.
Worked example — the series for eˣ
- For $f(x) = e^x$, every derivative is $e^x$, and $e^0 = 1$. So every coefficient is $\dfrac{1}{n!}$:
Each extra term bends the polynomial closer to $e^x$ near $x = 0$ — exactly how a calculator works.
More standard series. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ and $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (valid for $|x| < 1$).
Ejemplo resuelto — la serie para eˣ
- Para $f(x) = e^x$, cada derivada es $e^x$, y $e^0 = 1$. Por lo tanto, cada coeficiente es $\dfrac{1}{n!}$:
Cada término adicional dobla el polinomio más cerca de $e^x$ cerca de $x = 0$ — exactamente así funciona una calculadora.
Otras series estándar. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ y $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (válido para $|x| < 1$).
The Maclaurin series of eˣ begins: · La serie de Maclaurin de eˣ comienza con:
eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
Where the series is valid
- A Maclaurin series only matches the function within its interval of convergence 收敛区间.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ converge for all $x$; but $\ln(1+x)$ only for $-1 < x \leq 1$.
Check convergence before you trust it. Far outside the valid interval the polynomial diverges 发散 wildly from the function — more terms make it worse, not better.
- Differentiate hyperbolic functions and inverse functions, and relations given implicitly or parametrically.
Dónde es válida la serie
- Una serie de Maclaurin solo coincide con la función dentro de su intervalo de convergencia 收敛区间.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ convergen para todos los $x$; pero $\ln(1+x)$ solo para $-1 < x \leq 1$.
Verifica la convergencia antes de confiar en ella. Muy lejos del intervalo válido, el polinomio diverge 发散 wildly de la función — más términos la hacen peor, no mejor.
- Deriva funciones hiperbólicas e invertidas, y relaciones dadas implícitamente o paramétricamente.
The Maclaurin series for ln(1+x) is valid for every value of x. · La serie de Maclaurin para ln(1+x) es válida para cada valor de x.
It only converges for −1 < x ≤ 1; outside that interval it diverges. · Solo converge para −1 < x ≤ 1; fuera de ese intervalo diverge.
You've got it
- new derivatives: $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Maclaurin: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — more terms fit better, within the interval of convergence
Lo has logrado
- nuevas derivadas: $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Maclaurin: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — más términos se ajustan mejor, dentro del intervalo de convergencia