Integration (Further Pure 2) · Integración (Pure 2 Avanzado)
| English | Español |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | antiderivada |
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | forma estándar |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | sustitución |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | hiperbólico |
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | trigonométrico |
| surd/sɜːd/ | radical |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | fórmula de reducción |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | longitud de arco |
Integrals that fight back
- Some integrals have no obvious antiderivative 原函数 — until you spot the standard form 标准形式 or the right substitution 代换.
- Further Pure 2 gives you a toolkit: inverse-trig standard integrals, trig/hyperbolic 双曲 substitutions, and reduction formulae.
Integrales que se defienden
- Algunas integrales no tienen una primitiva obvia hasta que identificas la forma estándar o la sustitución adecuada.
- Further Pure 2 te proporciona un kit de herramientas: integrales estándar inverso-trigonométricas, sustituciones trigonométricas e hiperbólicas, y fórmulas de reducción.
Standard integrals
- Two results worth memorising:
- Match the integral to the form, read off $a$, and write the answer.
A definite integral measures the area under a curve
Integrales estándar
- Dos resultados dignos de memorizar:
- Ajusta la integral a la forma correspondiente, identifica $a$ y escribe la respuesta.
Una integral definida mide el área bajo una curva
The area under the curve · El área bajo la curva
area = ∫ f(x) dx · área = ∫ f(x) dx
Every integral measures the area · área under the curve — drag the limits. · Toda integral mide el área bajo la curva — arrastra los límites.
What is ∫ 1/(a² + x²) dx? · ¿Cuál es ∫ 1/(a² + x²) dx?
This is the standard inverse-tangent integral. · Esta es la integral estándar de arcotangente inversa.
What is ∫ 1/√(4 − x²) dx? · ¿Cuál es ∫ 1/√(4 − x²) dx?
With a = 2, ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C. · Con a = 2, ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C.
Match each integral to its result. · Empareja cada integral con su resultado.
The first two are the inverse-trig standard forms; ∫1/x dx = ln|x| + C. · Las dos primeras son las formas estándar trigonométricas inversas; ∫1/x dx = ln|x| + C.
Substitution
- A trigonometric 三角 substitution ($x = a\sin\theta$ or $x = a\tan\theta$) turns a surd 根式 or quadratic denominator into something simple.
- A hyperbolic substitution ($x = a\sinh u$) handles $\sqrt{a^2 + x^2}$.
Worked example. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. Here $a^2 = 9$, so $a = 3$: the answer is $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
Sustitución
- Una sustitución trigonométrica ($x = a\sin\theta$ o $x = a\tan\theta$) convierte un radical o un denominador cuadrático en algo sencillo.
- Una sustitución hiperbólica ($x = a\sinh u$) maneja $\sqrt{a^2 + x^2}$.
Ejemplo resuelto. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. Aquí $a^2 = 9$, por lo tanto $a = 3$: la respuesta es $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
In ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C, what is a? · En ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C, ¿cuál es a?
a² = 9 so a = 3; the integral is (1/3)tan⁻¹(x/3) + C. · a² = 9 por lo tanto a = 3; la integral es (1/3)tan⁻¹(x/3) + C.
Reduction formulae
- A reduction formula 递推公式 links an integral $I_n$ to a lower one $I_{n-1}$ (or $I_{n-2}$).
- Apply it repeatedly to climb down to a base case you can integrate directly.
Don't lose the limits. For a definite integral, the boundary term in a reduction formula is evaluated at the limits each time — a common place to drop a sign or a factor.
Fórmulas de reducción
- Una fórmula de reducción vincula una integral $I_n$ con otra de menor grado $I_{n-1}$ (o $I_{n-2}$).
- Aplícala repetidamente para descender hasta un caso base que puedas integrar directamente.
No pierdas los límites. Para una integral definida, el término de frontera en una fórmula de reducción se evalúa en los límites cada vez; este es un lugar común donde se pierde un signo o un factor.
A reduction formula links an integral Iₙ to Iₙ₋₁ so you can work down step by step. · Una fórmula de reducción vincula una integral Iₙ con Iₙ₋₁ para poder trabajar paso a paso hacia abajo.
Reduction formulae express a higher-index integral in terms of a lower one. · Las fórmulas de reducción expresan una integral de índice superior en términos de una inferior.
Applications
- Integration also measures curves themselves:
- Arc length 弧长: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Surface area of revolution: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Integrate using trigonometric substitutions, hyperbolic functions, and completing the square in the denominator.
Aplicaciones
- La integración también mide las curvas mismas:
- Longitud de arco: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Área de superficie de revolución: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Integra utilizando sustituciones trigonométricas, funciones hiperbólicas y completando el cuadrado en el denominador.
Arc length is the integral of √(1 + ()²) dx. · La longitud de arco es la integral de √(1 + ()²) dx.
Arc length s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx. · Longitud de arco s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx.
You've got it
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- use a trig / hyperbolic substitution for surds and quadratic denominators
- a reduction formula steps $I_n$ down to $I_{n-1}$; integration also gives arc length and surface area
Lo has logrado
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- usa una sustitución trig / hiperbólica para radicales y denominadores cuadráticos
- una fórmula de reducción desciende $I_n$ a $I_{n-1}$; la integración también proporciona longitud de arco y área de superficie