Complex numbers (Further Pure 2) · Números complejos (Matemáticas Puras Avanzadas 2)
| English | Español |
|---|---|
| de Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | teorema de De Moivre |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | forma polar |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | argumento |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | módulo |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | parte imaginaria |
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | raíces de la unidad |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | círculo unitario |
Raising to a power, the easy way
- To work out $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ the long way, you'd multiply ten times.
- De Moivre's theorem 棣莫弗定理 does it in one line — and as a bonus, it splits a circle into equal pieces.
Elevar a una potencia, la forma fácil
- Para calcular $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ por el método largo, tendrías que multiplicar diez veces.
- El teorema de De Moivre 棣莫弗定理 lo hace en una sola línea — y como bonificación, divide un círculo en partes iguales.
De Moivre's theorem
- A complex number in polar form 极坐标形式: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- De Moivre's theorem — for any integer $n$:
- Raising to a power multiplies the argument 辐角 by $n$ (and the modulus 模 by $r^n$).
Teorema de De Moivre
- Un número complejo en forma polar 极坐标形式: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- Teorema de De Moivre — para cualquier entero $n$:
- Elevar a una potencia multiplica el argumento 辐角 por $n$ (y el módulo 模 por $r^n$).
Complex numbers · Números complejos
z = x + yi
Plot z as a point: its distance from O is the modulus, its angle the argument. · Representar z como un punto: su distancia a O es el módulo, su ángulo es el argumento.
De Moivre's theorem states (cos θ + i sin θ)ⁿ equals: · El teorema de De Moivre establece que (cos θ + i sin θ)ⁿ es igual a:
Raising to the power n multiplies the argument by n: cos nθ + i sin nθ. · Elevar a la potencia n multiplica el argumento por n: cos nθ + i sin nθ.
Expanding multiple angles
- Comparing real and imaginary parts 虚部 of $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ gives identities.
- Worked example: the real part of the cube gives $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
Expandir ángulos múltiples
- Comparar las partes real e imaginaria 虚部 de $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ proporciona identidades.
- Ejemplo resuelto: la parte real del cubo da $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
Using de Moivre, cos 3θ expands to: · Usando De Moivre, cos 3θ se expande en:
Take the real part of (cosθ + i sinθ)³: cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ. · Tomar la parte real de (cosθ + i sinθ)³: cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ.
The roots of unity 单位根
- The equation $z^n = 1$ has exactly $n$ solutions — the $n$th roots of unity.
- They lie on the unit circle 单位圆, equally spaced $\dfrac{360^\circ}{n}$ apart, starting at $1$.
The five solutions of $z^5 = 1$ sit on the unit circle, $72^\circ$ apart — a perfect pentagon.
Why equally spaced? Each root has modulus $1$ and arguments $\dfrac{360^\circ k}{n}$ for $k = 0, 1, \dots, n-1$ — so consecutive roots differ by the same angle.
Raíces de la unidad 单位根
- La ecuación $z^n = 1$ tiene exactamente $n$ soluciones — las raíces $n$-ésimas de la unidad.
- Se encuentran sobre la circunferencia unitaria 单位圆, equiespaciadas $\dfrac{360^\circ}{n}$ entre sí, comenzando en $1$.
Las cinco soluciones de $z^5 = 1$ se sitúan sobre la circunferencia unitaria, separadas $72^\circ$ — formando un pentágono perfecto.
¿Por qué están equiespaciadas? Cada raíz tiene módulo $1$ y argumentos $\dfrac{360^\circ k}{n}$ para $k = 0, 1, \dots, n-1$ — por lo tanto, las raíces consecutivas difieren en el mismo ángulo.
How many distinct roots of unity does the equation z⁵ = 1 have? · ¿Cuántas raíces de la unidad distintas tiene la ecuación z⁵ = 1?
zⁿ = 1 has exactly n roots, equally spaced on the unit circle; here n = 5. · zⁿ = 1 tiene exactamente n raíces, distribuidas uniformemente sobre la circunferencia unitaria; aquí n = 5.
The fifth-roots of unity are equally spaced on the unit circle. How many degrees apart are consecutive roots? · Las raíces quintas de la unidad están distribuidas uniformemente sobre la circunferencia unitaria. ¿A cuántos grados se separan las raíces consecutivas?
360°/5 = 72° between consecutive roots. · 360°/5 = 72° entre raíces consecutivas.
The n roots of unity are equally spaced around the unit circle. · Las n raíces de la unidad están distribuidas uniformemente alrededor de la circunferencia unitaria.
They sit at equal angular gaps of 360°/n around the circle. · Se sitúan con separaciones angulares iguales de 360°/n alrededor del círculo.
Common slip
De Moivre needs polar form first. $(1 + i)^8$ is not $1^8 + i^8$ — convert $1+i$ to $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ with $r = \sqrt2$, $\theta = 45^\circ$, then apply the theorem.
- Summing a series of $\cos$/$\sin$ terms uses the complex sum $C + \mathrm{i}S$ of complex numbers.
Error común
De Moivre requiere primero la forma polar. $(1 + i)^8$ no es igual a $1^8 + i^8$ — convierte $1+i$ a $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ con $r = \sqrt2$, $\theta = 45^\circ$, luego aplica el teorema.
- Sumar una serie de términos $\cos$/$\sin$ utiliza la suma compleja $C + \mathrm{i}S$ de números complejos.
Before applying de Moivre to (1 + i)⁸, you must first write 1 + i in ______ form. · Antes de aplicar De Moivre a (1 + i)⁸, primero debes escribir 1 + i en forma ______.
Convert to r(cosθ + i sinθ) first, then raise to the power. · Convertir a r(cosθ + i sinθ) primero, y luego elevar a la potencia.
You've got it
- de Moivre: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- it expands multiple angles, e.g. $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
- the $n$ roots of unity are equally spaced $\dfrac{360^\circ}{n}$ apart on the unit circle
Lo has entendido
- de Moivre: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- expande ángulos múltiples, p. ej., $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
- las $n$ raíces de la unidad están equiespaciadas $\dfrac{360^\circ}{n}$ sobre la circunferencia unitaria