Alcance y requisitos previos
Basado en el marco del Digital SAT. Estas tareas en papel no son adaptativas ni predicen una puntuación escalada.
- Interpretar la pendiente y la intersección de un modelo ajustado en contexto
- Calcular un residuo y distinguir interpolación de extrapolación
- Elegir patrones lineales o exponenciales a partir de datos con pasos iguales
Prerrequisitos: Funciones lineales; resta con signo; etiquetas de diagrama de dispersión.
Explicar y elegir el método
Un diagrama de dispersión empareja dos variables cuantitativas, un punto por observación pareada. Una línea ajustada resume una tendencia en lugar de conectar cada punto. En un modelo y=a+bx, b predice el cambio en y por aumento de una unidad en x; sus unidades son unidades de y por unidad de x. La intersección a predice y cuando x=0, lo cual puede estar fuera del rango de datos.
Un residuo es y observado menos y predicho. Positivo significa que la observación está sobre el modelo; negativo, debajo. Sustituya la x observada en el modelo antes de restar. Un residuo grande marca una mala predicción para ese punto, no necesariamente un error de medición ni prueba de ausencia de tendencia.
La interpolación predice dentro del rango observado de x; la extrapolación va más allá y requiere mayor precaución porque la relación puede cambiar. Use tanto el dominio contextual como la forma algebraica del modelo. Por ejemplo, un tiempo de viaje predicho negativo puede revelar una extrapolación injustificada en lugar de un resultado físicamente posible.
Para pasos de entrada iguales, diferencias de salida casi constantes sugieren un modelo lineal; razones de salida casi constantes sugieren un modelo exponencial. La dispersión puede hacer que ambos patrones sean aproximados. La asociación no identifica causa: ambas variables pueden reflejar un tercer factor. Una tendencia ajustada es evidencia sobre predicción, no por sí misma sobre intervención.
Un residuo es la observación menos la predicción. Un modelo de viaje $T=5+2d$ usa minutos para $T$ y kilómetros para $d$. $T(4)=5\,\mathrm{min}+(2\,\mathrm{min/km})(4\,\mathrm{km})=13\,\mathrm{min}$. Para tiempo observado de 16 minutos, $e=T_{obs}-T_{pred}=16\,\mathrm{min}-13\,\mathrm{min}=3\,\mathrm{min}$.
Ejemplo resuelto. Para tiempo de estudio x horas y puntuación de práctica predicha y=12+3x, la pendiente es 3 puntos/punto de puntuación/hora. En x=2 la predicción es 18. Si la puntuación observada es 21, residuo=21-18=3. Con valores de x observados desde 1 hasta 5, predecir en x=3 interpola y x=12 extrapola. Salidas 5,10,20,40 a pasos iguales de entrada sugieren crecimiento exponencial de factor dos.
Material de práctica
Cada pregunta de práctica a continuación establece todos los datos necesarios.
Práctica de razonamiento
Práctica 1
Un modelo de entrega ajustado es $T=8+1.5d$ minutos para distancias observadas de 2–10 km. Interprete ambos parámetros. En 6 km el tiempo observado es 15 minutos; encuentre su residuo.
Razonamiento. La intersección predice 8 minutos a distancia cero; el cero está fuera del rango observado, por lo que esta interpretación es una extrapolación. La pendiente predice un adicional de 1.5 minutos por kilómetro. $T(6)=8\,\mathrm{min}+(1.5\,\mathrm{min/km})(6\,\mathrm{km})=17\,\mathrm{min}$. Residuo $e=15\,\mathrm{min}-17\,\mathrm{min}=-2\,\mathrm{min}$, por debajo de la recta.
Práctica 2
Se solicitan predicciones en 7 km y 20 km. Clasifique cada una y explique por qué una pendiente ajustada no prueba que la distancia sola cause toda la variación temporal.
Razonamiento. Siete está dentro de 2–10, por lo tanto interpolación. Veinte está fuera, por lo tanto extrapolación con menor respaldo. El tráfico, la carga y otras condiciones pueden influir en el tiempo; una asociación ajustada no aísla sus efectos.
Práctica 3
En entradas igualmente espaciadas 0,1,2,3, las salidas son 6,18,54,162. Elija una regla lineal o exponencial simple y prediga en 4, indicando la suposición.
Razonamiento. Las razones son todas 3, mientras que las diferencias varían. La regla exponencial es $y=6(3)^x$. Bajo un crecimiento continuo de factor tres, $y(4)=6(3)^4=486$. Esta es una extrapolación basada en modelo, no una próxima observación garantizada.
Límites y próximo uso
Mantenga observada menos predicha en ese orden. No convierta la pendiente de un modelo en un efecto causal del tratamiento.
Estas son tareas de práctica originales escritas para este curso, no preguntas de examen oficiales.