FP1 · Further Pure Mathematics 1

Matemáticas Puras Avanzadas 1 (FP1, papel WFM01/01, 1 hora 30 minutos, 75 marcas) es obligatorio para las Matemáticas Avanzadas Internacionales AS y A Level y para las Matemáticas Puras Internacionales AS y A Level. Se asumen P1–P2 y pueden ser objeto de examen, incluyendo la localización de cambios de signo de raíces, rotación de figuras alrededor del origen y división de un cúbico o cuártico por un cuadrático. Este referente cubre números complejos, raíces de ecuaciones cuadráticas, métodos numéricos, la parábola e hipérbola rectangular, álgebra matricial, transformaciones, series finitas y prueba por inducción.

Conocimientos esenciales para FP1 (no incluidos en el folleto):

Un número complejo es $z = a + bi$ con $i^2 = -1$; $a$ es la parte real, $b$ la parte imaginaria. El conjugado $\bar z = a - bi$ invierte el signo de la parte imaginaria, y $z\bar z = a^2 + b^2 = \lvert z\rvert^2$ —el truco que— hace que el denominador sea real: $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1\bar z_2}{\lvert z_2\rvert^2}$. Dos números complejos son iguales solo cuando sus partes reales e imaginarias coinciden. La forma polar $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ empareja el módulo $r$ con el argumento (definido solo cuando $z\ne0$) $\theta$; al multiplicar números complejos se multiplican sus módulos ($\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert$).

Ejemplo resuelto — una suma real fija la parte imaginaria. $z_1 = r(\cos\tfrac{7\pi}6 + i\sin\tfrac{7\pi}6)$ con $r > 0$, y $z_2$ tiene módulo 5. Dado que $\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert = 5r = 15$, obtenemos $r = 3$. Por lo tanto $z_1 = 3(-\tfrac{\sqrt3}2 - \tfrac12i) = -\tfrac{3\sqrt3}2 - \tfrac32 i$. Si $z_1 + z_2$ es real, su parte imaginaria es cero, así que $z_2 = a + \tfrac32 i$; luego $a^2 + \tfrac94 = 25$ da como resultado $a = \pm\tfrac{\sqrt{91}}2 \approx \pm4.77$. Tanto $z_2 = \tfrac{\sqrt{91}}2 + \tfrac32i$ como su reflexión en el eje imaginario son válidos.

En un diagrama de Argand (diagrama de Argand), grafique $z = a + bi$ como el punto $(a, b)$: la adición es la adición vectorial, el conjugado refleja sobre el eje real, y $\lvert z\rvert$ es la distancia al origen.

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales y discriminante negativo, complete el cuadrado:' $x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4 = 0$ da $x = 3 \pm 2i$. Las raíces son un par conjugado — y esto persiste en el grado: si $f(z_1) = 0$ tiene coeficientes reales, entonces $f(\bar z_1) = 0$ también. Por lo tanto, un cúbico real tiene bien tres raíces reales o una raíz real más un par conjugado, y $(z - z_1)(z - \bar z_1) = z^2 - 2\operatorname{Re}(z_1)z + \lvert z_1\rvert^2$ es un factor cuadrático real. Divídalo para obtener el resto.

Ejemplo resuelto — un cuártico con una raíz compleja dada (WFM01 junio 2025 P7). $f(z) = Pz^4 - 36z^3 + Qz^2 + 192z + 68$ tiene la raíz $3 + 5i$, por lo que $3 - 5i$ también es una raíz y

Al escribir $f(z) = (z^2 - 6z + 34)(Pz^2 + bz + c)$ y comparar: $34c = 68$ de modo que $c = 2$; $-6c + 34b = 192$ implica $34b = 204$, $b = 6$; luego $b - 6P = -36$ proporciona $P = 7$ y $c - 6b + 34P = Q$ da $Q = 204$. (Verifique contra $f(3+5i) = 0$: la ecuación real $644P + 16Q = 7772$ se cumple, ya que $644(7) + 16(204) = 4508 + 3264 = 7772$.) Las otras raíces resuelven $7z^2 + 6z + 2 = 0$:

Sin calculadora: solo se usa aritmética de $b^2 - 4ac < 0$ y el hecho de los conjugados.

Para $ax^2 + bx + c = 0$ con raíces $\alpha, \beta$: $\alpha + \beta = -\tfrac ba$ y $\alpha\beta = \tfrac ca$. Las expresiones simétricas en $\alpha, \beta$ no requieren raíces individuales raíces: $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$, $\alpha^3 + \beta^3 \equiv (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ y $\tfrac1\alpha + \tfrac1\beta = \tfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$. Para construir una nueva ecuación cuadrática, exprese la nueva suma y producto en términos de los anteriores; la ecuación es $x^2 - (\text{sum})x + \text{product} = 0$.

Ejemplo resuelto — nuevas raíces sin resolver (WFM01 junio 2025 P6). $f(x) = 3x^2 + kx - 5$ tiene las raíces $\alpha, \beta$, por lo que $\alpha\beta = -\tfrac53$. Si $\alpha + \beta = 9\alpha\beta$, entonces $-\tfrac k3 = -15$, por lo tanto $k = 45$ y $\alpha + \beta = -15$. Para las raíces $\alpha^2 + \beta$ y $\alpha + \beta^2$:

La nueva ecuación es $9x^2 - 1920x - 31040 = 0$ (multiplique $x^2 - \tfrac{640}3x - \tfrac{31040}9 = 0$ por 9).

Tres localizadores iterativos: la bisección y la interpolación requieren una función continua en su intervalo; Newton-Raphson también necesita una derivada definida y distinta de cero en cada paso y puede fallar en converger. bisección de intervalos divide a la mitad un intervalo que contiene un cambio de signo; interpolación lineal traza cuerdas desde $(a, f(a))$ hasta $(b, f(b))$ y toma el cero de la cuerda $\beta \approx a - \dfrac{(b-a)f(a)}{f(b)-f(a)}$; el método de Newton–Raphson

• (fórmula dada en el folleto) itera $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Muestre cada evaluación — las respuestas "solo calculadora" no obtienen puntos.

Ejemplo resuelto — bisección e interpolación (WFM01 junio 2025 Q3). (i) $f(x) = x^2 + 5 - 8^{5x}$ tiene una única raíz $\alpha$ en $[0, 1]$: $f(0) = 4 > 0$, $f(0.5) = 5.25 - 8^{2.5} = -175.77 < 0$, por lo tanto dividir a la mitad: $f(0.25) = 5.0625 - 8^{1.25} = -8.392 < 0$. El cambio de signo se encuentra en $[0, 0.25]$. (ii) $g(x) = 3^{\sin x} - 3\cos x$ (radianes): $g(4) = 2.396 > 0$ y $g(5) = -0.502 < 0$, y $g$ es continua, por lo que una raíz $\beta$ se encuentra en $[4, 5]$. Interpolando una vez: $\beta \approx 4 + \dfrac{2.396}{2.396 + 0.502} = 4.827$ (4 s.f.).

Newton–Raphson (ejemplo original). Resuelva $x^3 - 2x - 5 = 0$ desde $x_0 = 2$: $f(2) = -1$, $f'(x) = 3x^2 - 2$ por lo tanto $f'(2) = 10$ y $x_1 = 2 - \tfrac{-1}{10} = 2.1$; luego $f(2.1) = 0.061$, $f'(2.1) = 11.23$, $x_2 = 2.0946$. Las iteraciones se acercan a la raíz, aproximadamente $2.09455$ (verificar: $2.0946^3 - 2(2.0946) - 5 \approx +0.0005$).

La parábola $y^2 = 4ax$ tiene forma paramétrica $x = at^2$, $y = 2at$; la hipérbola rectangular $xy = c^2$ tiene $x = ct$, $y = \tfrac ct$. Las tangentes y normales se obtienen derivando la ecuación cartesiana (la derivación paramétrica no es necesaria): $y^2 = 4ax$ da $\tfrac{dy}{dx} = \tfrac{2a}y = \tfrac1t$ en el parámetro $t$, y $xy = c^2$ da $y = \tfrac{c^2}x$ de modo que $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{c^2}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$ en $x = ct$.

Ejemplo resuelto — normal a una hipérbola (WFM01 junio 2025 Q4). Para $xy = 81$ en $P(9t, \tfrac9t)$: $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{81}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$, por lo que la normal tiene pendiente $t^2$:

En el eje $y$, $A = (0, \tfrac{9(1-t^4)}t)$. Con $t = \tfrac13$: $P = (3, 27)$ y $A = (0, \tfrac{80}3)$, entonces el triángulo $OPA$ tiene área $\tfrac12 \times 3 \times \tfrac{80}3 = 40$.

La parábola es el lugar geométrico de puntos equidistantes del foco $(a, 0)$ y la directriz $x = -a$. Las distancias, no el álgebra, desbloquean las preguntas de geometría.

Ejemplo resuelto — distancias foco-directriz (WFM01 junio 2025 Q9). $P$ está sobre la parábola 5 unidades desde el foco, por lo que $P$ también está 5 unidades desde la directriz ($PF = PM = 5$, con $PM$ perpendicular a la directriz). Los puntos $Q, R$ sobre la directriz satisfacen $PQ = PR = 10$. Cada triángulo rectángulo $PQM$ da $QM = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt3$, y $M$ está entre $Q$ y $R$, luego $QR = 10\sqrt3$.

Las matrices se suman entrada por entrada (misma forma), escalan entrada por entrada y multiplican fila por columna. ($(\mathbf{AB})_{ik} = \sum_j A_{ij}B_{jk}$; $\mathbf{AB} \ne \mathbf{BA}$ en general). Para matrices $2\times 2$ de dimensión $\det\mathbf M = ad - bc$: cero significa singular (sin inversa); de lo contrario, para matrices $\mathbf M^{-1} = \dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$, y para la matriz $\mathbf M\mathbf M^{-1} = \mathbf I$. Los inversos invierten el orden: $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$ — deshacer primero la última transformación.

Ejemplo resuelto — una inversa que debe permanecer consistente (WFM01 junio 2025 pregunta1). Matriz $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&a\\3&-5\end{pmatrix}$ con vector $a \ne -\tfrac53$:

Dada la matriz $\mathbf M^{-1} = 2\mathbf M + 8\mathbf I = \begin{pmatrix}10&2a\\6&-2\end{pmatrix}$, comparar entradas: la ecuación $\dfrac{-3}{-(5+3a)} = 6$ da como resultado $5 + 3a = \tfrac12$, y cada otra entrada lo confirma, por lo tanto, la solución es $a = -\tfrac32$.

Una matriz $2\times 2$ $\mathbf M$ transforma vectores columna mediante $\mathbf y = \mathbf{Mx}$; su columnas son las imágenes de los vectores unitarios $\mathbf i$ y $\mathbf j$ — se puede leer cualquier transformación directamente en la matriz. Los resultados estándar:

For combinations, $\mathbf{AB}$ means "apply $\mathbf B$ first, then $\mathbf A$". The inverse transformation undoes it, and $\lvert\det\mathbf M\rvert$ is the area scale factor: areas multiply by the determinant (negative determinants add a reflection).

01: un giro de un cuarto en sentido horario (2025° antihorario) respecto a 2. $\mathbf P = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ maps $\mathbf i \to (0,-1)^T$ and $\mathbf j \to (1,0)^T$: a quarter-turn clockwise (270° anticlockwise) about $O$. $\mathbf Q = 5\mathbf I$ is an enlargement, scale factor 5, centre $O$. Reflection in $y = -x$ is $\mathbf R = \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$, so $A = \mathbf R(4,3)^T = (-3,-4)$. If $\mathbf Q$ follows $\mathbf P$ and maps $B$ to $A$, then $B = \mathbf P^{-1}\mathbf Q^{-1}A = \mathbf P^{-1}\cdot\tfrac15(-3,-4)^T = \tfrac15(4,-3)^T = (0.8, -0.6)$ — $\mathbf P$'s own inverse is its transpose, so this is arithmetic only.

límite $\sum_{r=1}^n r = \tfrac12 n(n+1)$ (sustituye $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$ en las fórmulas estándar) y sumas desplazadas como folleto), cualquier sumando polinomial se descompone en piezas estándar —incluyendo sumas hasta un par— límite $2n$ (sustituye $k = 2n$ en las fórmulas estándar) y sumas desplazadas como $\sum (r+1)^2$.

Ejemplo resuelto — una suma hasta 2n (WFM01 junio 2025 Q8a). Muestra $\sum_{r=1}^{2n}(2r^2 - 1) = \tfrac43 n(n+1)(an + b)$:

y $4n^2 + 3n - 1 = (n+1)(4n - 1)$, por lo que la suma es $\tfrac43n(n+1)(4n-1)$: $a = 4$, $b = -1$. (Verificar $n = 1$: $1 + 7 = 8$ y $\tfrac43\cdot1\cdot2\cdot3 = 8$.)

Inducción demuestra una afirmación $P(n)$ para todos los enteros positivos en tres pasos: verifica $P(1)$; asume $P(k)$; deduce $P(k+1)$ a partir de ella —luego concluye con "verdadero para $n = 1$,", y la verdad para $n = k$ implica la verdad para $n = k+1$, por lo tanto, por inducción, verdadero para todos los positivos enteros $n$". La oración final forma parte de la demostración. Cuatro familias evaluadas: sumatoria fórmulas, divisibilidad, secuencias definidas por recurrencia y potencias de matrices.

Ejemplo resuelto — una sumatoria (WFM01 junio 2025 P8b). Demostrar $\sum_{r=1}^n r(3r-2)^2 = \tfrac14 n^2(n+1)(9n-7)$. Para $n = 1$: lado izquierdo $= 1\cdot1^2 = 1$ y lado derecho $= \tfrac14\cdot1\cdot2\cdot2 = 1$ — verdadero. Asumir verdadero para $n = k$; el término $(k+1)$ es $(k+1)(3k+1)^2$, por lo tanto

Expandir el paréntesis: $9k^3 - 7k^2 + 36k^2 + 24k + 4 = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$. El objetivo para $n = k+1$ es $\tfrac14(k+1)^2(k+2)(9k+2)$, y su paréntesis $(k+1)(k+2)(9k+2)$ se expande como $(k^2+3k+2)(9k+2) = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$ — idéntico. Por tanto, la afirmación es válida para $n = k+1$, y por inducción para todos los enteros positivos $n$.

Divisibilidad (ejemplo original). Demostrar que $n^3 + 2n$ es divisible por 3. Para $n = 1$: $3$. Asumir $k^3 + 2k = 3m$; entonces $(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 = 3(m + k^2 + k + 1)$, todavía un múltiplo de 3. Por inducción, válido para todo $n$.

Potencias de matrices (ejemplo original). Demostrar $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$. Válido para $n = 1$. Si es válido para $k$, entonces $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^{k+1} = \begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}$, completando la inducción.

• Trabajar con $a + bi$ y $r(\cos\theta + i\sin\theta)$: módulo, argumento, conjugado; cocientes hechos reales.
• Usar pares de conjugados para factorizar cúbicas y cuárticas con coeficientes reales; hallar todas las raíces sin calculadora.
• Convertir expresiones simétricas mediante $\alpha + \beta$ y $\alpha\beta$; formar nuevos cuadráticos para raíces transformadas.
• Localizar raíces por bisección e interpolación lineal mostrando cada evaluación; iterar Newton-Raphson desde un inicio dado.
• Usar $y^2 = 4ax$ y $xy = c^2$ paramétricos; tangentes/normales mediante derivación cartesiana; distancias foco-directriz.
• Invert matrices $2\times2$ (y matrices $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$); resolver ecuaciones matriciales entrada por entrada.
• Identificar reflexiones, rotaciones, estiramientos y ampliaciones a partir de matrices; combinarlas en el orden correcto; usar $|\det|$ como factor de escala del área.
• Sumar series hasta $n$ y $2n$ con las fórmulas estándar; demostrar series, divisibilidad, recurrencia y resultados matriciales por inducción con una afirmación final.