P2 · Pure Mathematics 2

Matemáticas Puras 2 (P2) es la segunda unidad obligatoria de Matemáticas Internacionales AS y Matemáticas Puras Internacionales AS, y de ambas rutas de Nivel A Internacional. Esta referencia cubre todos los temas de P2 en el programa Edexcel IAL (Edición 3, abril 2019): demostración, teoremas del factor y residuo, geometría circular, secuencias y series, exponenciales y logaritmos, identidades y ecuaciones trigonométricas, puntos estacionarios e integración incluyendo áreas y la regla del trapecio.

• El examen P2 (WMA12/01) dura 1 hora 30 minutos y tiene 75 puntos. Se asume conocimiento de P1 y sus fórmulas, las cuales pueden ser evaluadas en el examen P2.
• Las mismas reglas para calculadora y la Fórmulas Matemáticas y Tablas Estadísticas amarillas aplican que para P1. Las siguientes fórmulas no aparecen en el folleto — memorícelas.
• Las preguntas "Muestre todas las etapas de su procedimiento" rechazan respuestas solo con calculadora; proporcione resultados exactos e inexactos Fórmulas que debe conocer para P3 (según la información de evaluación de la especificación):

Fórmulas que debe conocer para P2 (según la información de evaluación del programa):

Una demostración parte de premisas dadas y pasa por pasos lógicos hasta llegar a una conclusión. P2 utiliza tres métodos:

• Refutación por contraejemplo: un solo ejemplo que contradiga la afirmación la desmiente.
• Demostración algebraica: comenzar con lo dado, manipular identidades (no ecuaciones para resolver), y
• Demostración algebraica: comienza con lo dado, se manipulan identidades (no ecuaciones para resolver) y se termina con la afirmación objetivo.

todos los enteros positivos 12 que no son múltiplos de 2025, el valor de 10 siempre es un todos los enteros positivos $m$ que no son múltiplos de 3, el valor de $m^2 + 3m + 2$ es siempre un múltiplo de 3.

• Factorice primero: $m^2 + 3m + 2 = (m+1)(m+2)$.
• Un entero positivo no divisible por 3 es o bien $m = 3q + 1$ o bien $m = 3q + 2$ — esas son todas las posibilidades, por lo que agotarlas demuestra la afirmación.
• Caso $m = 3q + 1$: $(m+1)(m+2) = (3q+2)(3q+3) = 3(3q+2)(q+1)$ — un múltiplo de 3.
• Caso $m = 3q + 2$: $(m+1)(m+2) = (3q+3)(3q+4) = 3(q+1)(3q+4)$ — un múltiplo de 3.
• Ambos casos dan como resultado un múltiplo de 3, por lo tanto $3 \mid m^2+3m+2$ siempre que se cumpla $3 \nmid m$. $\blacksquare$
• Verificación: $m = 1$: $6 = 3 \times 2$ ✓; $m = 2$: $12 = 3 \times 4$ ✓; $m = 4$: $30$ ✓; $m = 5$: $42$ ✓.

Ejemplo resuelto — contraejemplo. Refutar: "$n^2 - n + 1$ es primo para todos los enteros". $n \ge 2$."

• Con un solo contraejemplo basta. Pruebe con $n = 5$: $25 - 5 + 1 = 21 = 3 \times 7$, que no es primo.
• La afirmación es falsa. Verificar $n = 2,3,4$ que da los primos $3, 7, 13$ — el patrón se cumple al principio, lo cual explica exactamente por qué un contraejemplo, y no más ejemplos, resuelve la cuestión.

Para un polinomio $f(x)$:

• Teorema del factor: $(x - b)$ es un factor de $f(x)$ si y solo si $f(b) = 0$. Para divisores de la forma $(ax - b)$: si $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right) = 0$ entonces $(ax - b)$ es un factor.
• Teorema del residuo: al dividir $f(x)$ entre $(ax - b)$, el residuo queda $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right)$.
• División algebraica por $(ax \pm b)$ produce un cociente y un residuo; el grado disminuye en uno: $f(x) = (ax - b) \times (\text{quotient}) + \text{remainder}$.

Ejemplo resuelto — ambos teoremas a la vez (adaptado de Edexcel IAL WMA12 junio 2025 Q4). $f(x) = ax^3 + bx^2 + 5x - 3$, donde $(x+3)$ es un factor de $f(x)$ y al dividir $f(x)$ por $(2x - 1)$ el resto es 7.

(a) Demuestre que $b = 3a + 2$.

• Teorema del factor: $f(-3) = 0$:
  $$a(-27) + b(9) + 5(-3) - 3 = 0 \implies -27a + 9b - 18 = 0 \implies b = 3a + 2$$

(b) Encuentre $a$ y $b$.

• Teorema del residuo con $(2x-1)$: $f\!\left(\tfrac12\right) = 7$:
  $$\frac{a}{8} + \frac{b}{4} + \frac{5}{2} - 3 = 7 \implies \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 7.5 \implies a + 2b = 60$$
• Sustituya $b = 3a + 2$: $a + 6a + 4 = 60$, por lo tanto $a = 8$ y $b = 26$.
• Verifique: $f(x) = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$; $f(-3) = -216 + 234 - 15 - 3 = 0$ ✓ y $f(\tfrac12) = 1 + 6.5 + 2.5 - 3 = 7$ ✓.

(c) Cociente y residuo cuando $f(x)$ se divide entre $(x - 2)$.

• Divida $8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ entre $(x-2)$: cociente $8x^2 + 42x + 89$, residuo $175$.
• Verificar reconstruyendo: $(x-2)(8x^2+42x+89) + 175 = 8x^3 + 42x^2 + 89x - 16x^2 - 84x - 178 + 175 = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ✓. The remainder also equals $f(2) = 64 + 104 + 10 - 3 = 175$ ✓.

Un círculo de centro $(a, b)$ y radio $r$ tiene ecuación

Dada la forma desarrollada $x^2 + y^2 + fx + gy + c = 0$, complete el cuadrado para recuperar el centro $\left(-\tfrac f2, -\tfrac g2\right)$ y $r^2 = \tfrac{f^2 + g^2}{4} - c$. Se examinan tres propiedades del círculo: se examinan las propiedades:

• la perpendicular trazada desde el centro a una cuerda biseca dicha cuerda;
• una tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto.
• Una tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto.

Ejemplo resuelto — extremos del diámetro (adaptado de Edexcel IAL WMA12 Junio 2025 P2). La recta que une $(-2, 5)$ y $(4, 15)$ es un diámetro del círculo $C$.

(a) Ecuación de $C$.

• El centro es el punto medio: $\left(\tfrac{-2+4}{2}, \tfrac{5+15}{2}\right) = (1, 10)$.
• El diámetro al cuadrado: $d^2 = (4-(-2))^2 + (15-5)^2 = 36 + 100 = 136$, por lo tanto $r^2 = 136 \div 4 = 34$.
  $$(x - 1)^2 + (y - 10)^2 = 34$$
• Verificación: ambos extremos satisfacen la ecuación: $(-3)^2 + (-5)^2 = 34$ ✓ y $3^2 + 5^2 = 34$ ✓.

(b) Coordenadas exactas del punto de $C$ más cercano al eje $x$.

• El punto más cercano se encuentra en el radio vertical: mismo $x$ que el centro, $r$ por debajo:
  $$(1,\ 10 - \sqrt{34})$$
• Verificación: $(1-1)^2 + (10-\sqrt{34}-10)^2 = 34$ ✓, y no es posible un $y$ menor ya que el centro está a $10 > \sqrt{34}$ sobre el eje.

Una sucesión puede definirse mediante una fórmula para el término $n$ o mediante una relación $x_{n+1} = f(x_n)$. Describirla como creciente, decreciente o periódica (según sus términos, no según su fórmula).

Sucesiones aritméticas: diferencia constante $d$.

Se debe conocer la demostración de la fórmula de la suma (escribir $S_n$ hacia adelante y hacia atrás, sumar), así como la notación $\Sigma$.

Sucesiones geométricas: razón constante $r$.

Se debe conocer la demostración de la fórmula de la suma (suma telescópica $S_n - rS_n$). Utilice logaritmos para resolver para $n$ cuando se da un valor de término.

Expansión binomial para un entero positivo $n$:

Ejemplo resuelto — serie geométrica con logaritmos (adaptado de Edexcel IAL WMA12 junio 2025 pregunta7). Una serie geométrica comienza $10 + 8 + 6.4 + \cdots$

(a) Suma al infinito.

• $a = 10$, $r = 8/10 = 0.8$ y $|r| < 1$:
  $$S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{10}{1 - 0.8} = 50$$

(b) El término $k$ es menor que 0.0005 — encontrar el valor mínimo de $k$, por medio algebraico.

• El $k$-ésimo término es $10(0.8)^{k-1}$:
  $$10(0.8)^{k-1} < 0.0005 \implies (0.8)^{k-1} < 0.00005$$
• Tome logaritmos (el logaritmo de un número menor que 1 es negativo — mantenga la dirección de la desigualdad al dividirlo por él):
  $$(k-1)\log 0.8 < \log 0.00005 \implies k - 1 > \frac{\log 0.00005}{\log 0.8} = 44.38\ldots$$
• Así $k > 45.38$ y el menor entero es $k = 46$.
• Verifique: $10(0.8)^{45} = 0.000436\ldots < 0.0005$ ✓ pero $10(0.8)^{44} = 0.000544\ldots > 0.0005$ ✓.

Ejemplo resuelto — suma aritmética máxima (adaptado de la misma pregunta). Una serie aritmética comienza $850 + 843 + 836 + \cdots$ ($d = -7$). Su mayor suma parcial:

• Los términos permanecen positivos hasta $u_n = 850 - 7(n-1) > 0$, por lo tanto $n \le 122.4$; el término 122 es $850 - 7(121) = 3 > 0$ y el término 123 es $-4 < 0$.
  $$S_{122} = \frac{122}{2}\big(2(850) + 121(-7)\big) = 61(1700 - 847) = 61 \times 853 = 52\,033$$
• Comprobación: sumar un término negativo 123 reduciría la suma, así que $S_{122}$ es el máximo ✓.

$y = a^x$ ($a > 0$, $a \ne 1$) pasa por $(0, 1)$ y crece sin límite para $a > 1$. La logaritmo $\log_a x$ lo invierte: $\log_a x = y$ significa $a^y = x$. Recuerda:

y $\log_a \tfrac1x = -\log_a x$. Resuelve $a^x = b$ con $x = \log_a b$ (puede ser necesario un cambio de base). Verifica siempre las soluciones contra el dominio: los logaritmos requieren argumentos positivos.

Ejemplo resuelto — una ecuación logarítmica (adaptado de Edexcel IAL WMA12 Junio 2025 Q6). Resolver $2\log_2(4 - x) = 3 + \log_2\!\left(\dfrac{x + 11}{2}\right)$.

• Lleva todo a un solo logaritmo por lado:
  $$\log_2(4-x)^2 = \log_2 8 + \log_2\!\left(\frac{x+11}{2}\right) = \log_2\big(4(x+11)\big)$$
• Logaritmos iguales implican argumentos iguales:
  $$(4-x)^2 = 4(x+11) \implies x^2 - 8x + 16 = 4x + 44 \implies x^2 - 12x - 28 = 0$$
  $$(x - 14)(x + 2) = 0 \implies x = 14 \ \text{or}\ x = -2$$
• Verificación del dominio: $4 - x > 0$ requiere $x < 4$, por lo que $x = 14$ se rechaza. $x = -2$.
• Comprobación: LHS $= 2\log_2 6$; RHS $= 3 + \log_2(4.5) = \log_2(8 \times 4.5) = \log_2 36 = 2\log_2 6$ ✓.

Ejemplo resuelto — intersección exacta en forma $\log_3$ (misma pregunta). Las curvas $y = 3^{2x+1}$ y $y = 6 \times 3^x$ se intersectan en $P$; expresa $P$ como $(\log_3 a, b)$.

• Iguala y sustituye $u = 3^x$:
  $$3\cdot 3^{2x} = 6 \cdot 3^x \implies 3u^2 = 6u \implies u = 2 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$$
  $$y = 6 \times 3^x = 6 \times 2 = 12$$
• $P = (\log_3 2,\ 12)$, so $a = 2$, $b = 12$. Check: $3^{2\log_3 2 + 1} = 3 \cdot 3^{2\log_3 2} = 3 \cdot 4 = 12$ ✓.

Dos identidades convierten entre seno, coseno y tangente:

Resuelve ecuaciones trigonométricas en un intervalo dado reduciendo a una sola función (a menudo una cuadrática oculta), luego obtén la segunda solución usando la simetría de la gráfica. Indica el intervalo, trabaja en sus unidades (grados o radianes) y rechaza valores fuera de este rango.

Ejemplo resuelto — radianes y fracciones exactas (adaptado de Edexcel IAL WMA12 Junio 2025 P8). Resuelve $3\tan\!\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) = \sqrt3$ para $0 \le x < \pi$.

• Dividir por 3: $\tan\left(2x + \tfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{\sqrt3}$, y $\tan\frac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$:
  $$2x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{30} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{60} + \frac{k\pi}{2}$$
• En $0 \le x < \pi$: $x = \dfrac{29\pi}{60}$ (k = 1) y $x = \dfrac{59\pi}{60}$ (k = 2).
• Comprobación: en $x = \frac{29\pi}{60}$: $2x + \frac\pi5 = \frac{7\pi}{6}$ y $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt3}$ ✓.

Ejemplo resuelto — cuadrática oculta en coseno (misma pregunta). Resolver $5\sin\theta\tan\theta = \cos\theta + 4$ para $0 \le \theta < 360°$.

• Sustituir $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$ y multiplicar toda la ecuación por $\cos\theta$:
  $$\frac{5\sin^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta + 4 \implies 5\sin^2\theta = \cos^2\theta + 4\cos\theta$$
• Usar $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$:
  $$5(1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 4\cos\theta \implies 6\cos^2\theta + 4\cos\theta - 5 = 0$$
• Fórmula general para $\cos\theta$:
  $$\cos\theta = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 120}}{12} = \frac{-2 \pm \sqrt{34}}{6}$$
• La raíz de $-$ es menor que $-1$ (se rechaza); $\cos\theta = 0.6385$ da $\theta = 50.3°$ y, a partir de la simetría del coseno, $\theta = 360° - 50.3° = 309.7°$.
• Comprobación: $\cos 50.3° = 0.638$ ✓; ambos ángulos están en el intervalo ✓.

Puntos estacionarios tienen $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Clasificar según el signo de la derivada:

• la derivada cambia de $+$ a $-$: máximo;
• la derivada cambia de $-$ a $+$: mínimo;
• la segunda derivada ayuda: $f''(x) > 0$ en el punto confirma un mínimo, $f''(x) < 0$ un máximo.

Una función es creciente donde $f'(x) > 0$ y decreciente donde $f'(x) < 0$. Los problemas prácticos — menos material, menor costo — se traducen en minimizar una expresión de una variable.

Ejemplo resuelto — un mínimo de modelado (adaptado de Edexcel IAL WMA12 Junio 2025 P9). Un canal abierto tiene extremos triangulares rectángulos con catetos $3x$ y $2x$ (metros), lados rectangulares $3x \times L$ y $2x \times L$, y capacidad $12\ \text{m}^3$. El área metálica es $S\ \text{m}^2$.

(a) Demuestre $S = 6x^2 + \dfrac{20}{x}$.

• Volumen: sección transversal $\times$ × longitud $= \tfrac12(3x)(2x) \times L = 3x^2L = 12$, por lo tanto $L = \dfrac{4}{x^2}$.
• Superficie: dos triángulos más los dos rectángulos:
  $$S = 2 \times \tfrac12(3x)(2x) + 3xL + 2xL = 6x^2 + 5x \cdot \frac{4}{x^2} = 6x^2 + \frac{20}{x}$$

(b) Mínimo $S$ mediante cálculo.

(c) Justifique el mínimo.

• Segunda derivada positiva en todo el dominio: el punto estacionario es un mínimo ✓.
• Comprobación: en $x = 1.1856$, $\frac{d^2S}{dx^2} = 12 + 40/(5/3) = 12 + 24 = 36 > 0$ ✓.

Evalúe integrales definidas con el teorema fundamental:

La integral definida es el área bajo la curva para $y \ge 0$. Para una región acotado por una curva y una recta, integra (superior − inferior) entre sus intersecciones, dividiendo donde cambie su orden. Verifica qué gráfico está por encima del otro.

Ejemplo resuelto — área entre curva y recta (adaptado de Edexcel IAL WMA12 Junio 2025 Q3). $C$: $y = 3x + \dfrac{16}{x^2} - 8$ ($x > 0$) con $P(1, 11)$ y $Q(4, 5)$ sobre $C$; encuentre el área entre $C$ y el segmento de recta $PQ$.

• Recta $PQ$: pendiente $\dfrac{5-11}{4-1} = -2$, por lo tanto $y - 11 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 13$.
• Verificar $Q$: $-8 + 13 = 5$ ✓.
• Área bajo la recta: $\displaystyle\int_1^4 (-2x + 13)\,dx = \left[-x^2 + 13x\right]_1^4 = 36 - 12 = 24$.
• Área bajo la curva: $\displaystyle\int_1^4 \left(3x + 16x^{-2} - 8\right)dx = \left[\tfrac32x^2 - \tfrac{16}{x} - 8x\right]_1^4 = (24 - 4 - 32) - (\tfrac32 - 16 - 8) = 10.5$.
• Área de la región: $24 - 10.5 = \mathbf{13.5}$ unidades cuadradas.
• Verificación: la recta está por encima de la curva en todo momento (en $x = 2$: recta $9$, curva $3(2) + 4 - 8 = 2$), por lo que restar la curva a la recta es el orden correcto ✓.

La regla del trapecio aproxima un área mediante $n$ franjas de ancho $h$:

Más franjas (o una curva más recta) mejoran la estimación; una curva que se curva hacia arriba (convexa, con forma de U como $x^2$) deja cada cuerda por encima de ella, por lo que la regla sobreestima, mientras que una curva que se curva hacia abajo (cóncava, como $\sqrt x$ o un arco de círculo) deja cuerdas por debajo de ella, por lo que la regla subestima.

Ejemplo resuelto — regla del trapecio con tabla. Estimar $\displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ con 4 franjas.

• Cuatro franjas sobre $[1, 3]$ dan $h = 0.5$ y cinco valores de $y = \dfrac1x$: en $x = 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$ los valores son $1,\ 0.6667,\ 0.5,\ 0.4,\ 0.3333$.
  $$\int_1^3 \frac1x\,dx \approx \frac{0.5}{2}\big[1 + 0.3333 + 2(0.6667 + 0.5 + 0.4)\big] = 0.25 \times 4.4667 = 1.12$$
• El valor verdadero es $\ln 3 = 1.099$ (3 s.f.). La estimación es una sobreestimación: $y = 1/x$ es convexa (se curva hacia arriba), por lo que cada franja recta queda por encima de la curva ✓.

• Estructurar una demostración; usar exhaustividad sobre casos completos; refutar con un solo contraejemplo.
• Aplicar los teoremas del factor y del resto, incluyendo divisores $(ax - b)$, y realizar operaciones algebraicas de división con cociente y residuo.
• Encontrar el centro y el radio de una circunferencia a partir de cualquiera de sus formas; utilizar las tres propiedades de la circunferencia.
• Usar $a_n$, $S_n$ y $S_\infty$ para series aritméticas y geométricas (ambas con demostraciones de fórmula de suma), notación $\Sigma$, y logaritmos para encontrar $n$.
• Expandir $(a + bx)^n$ con coeficientes binomiales, y hacer coincidir los coeficientes dados.
• Resolver ecuaciones logarítmicas con las tres leyes, verificando dominios; dar intersecciones exactamente como $(\log_a b, c)$ cuando se solicite.
• Simplificar ecuaciones trigonométricas con $\tan = \sin/\cos$ y $\sin^2 + \cos^2 = 1$; resolver en grados o radianes según se indique, listando todas las soluciones del intervalo.
• Encontrar y clasificar puntos estacionarios; justificar mediante cambio de signo o segunda derivada; plantear optimización de mínimos en una variable.
• Evaluar integrales definidas; encontrar áreas bajo curvas y entre curva y recta; aplicar la regla del trapecio a partir de una tabla e indicar la dirección de su error.