FP3 · Further Pure Mathematics 3

Matemáticas Puras Avanzadas 3 (FP3, examen WFM03/01, 1 hora 30 minutos, 75 puntos, primera evaluación junio 2020) es la última unidad pura: P1–P4 y FP1 se dan por conocidas y pueden ser evaluadas. Añade las funciones hiperbólicas y sus inversas, la elipse e hipérbola con sus propiedades de foco-directriz técnicas restantes de diferenciación e integración (fórmulas de reducción, arco longitud, superficies de revolución), productos vectoriales con rectas y planos en tres dimensiones, y álgebra matricial hasta valores propios y diagonalización. Esta referencia cubre todo ello, con el examen de junio 2025 como columna vertebral de ejemplo resuelto.

Conocimientos obligatorios para FP3 (asumidos, no repartidos):

Las funciones hiperbólicas se construyen a partir de exponenciales: $\cosh x = \tfrac12(e^x + e^{-x})$ y $\sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$, con $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$. La gráfica de $\cosh$ es la catenaria, incluso con mínimo $(0, 1)$; $\sinh$ es impar respecto al origen; $\tanh$ es impar y acotado entre las líneas asíntota $y = \pm 1$. Las dos identidades que deben derivarse bajo demanda son $\cosh^2x - \sinh^2x \equiv 1$ y $\cosh 2x \equiv \cosh^2x + \sinh^2x$; las identidades de suma a producto espejan las trigonométricas.

Ejemplo resuelto — una identidad a partir de las definiciones (WFM03 junio 2025 Q1). Demuestre que $\cosh 6x + \cosh 4x = 2\cosh 5x\cosh x$. Desde la izquierda:

parear $e^{6x} = e^{5x}e^{x}$ con $e^{-6x} = e^{-5x}e^{-x}$ y de igual manera para los términos $4x$ — cada paso es un registro de productos $e^{\pm x}e^{\pm 5x}$, por lo que las marcas exigen las formas exponenciales antes de cualquier cancelación. Luego resuelve $\cosh 6x + \cosh 4x = 8\cosh x$: el identidad la colapsa a $\cosh x(2\cosh 5x - 8) = 0$, y $\cosh$ nunca es cero, así que $\cosh 5x = 4$, dando como resultado $5x = \pm\operatorname{arcosh}4 = \pm\ln(4 + \sqrt{15})$ y $x = \pm\tfrac15\ln(4 + \sqrt{15})$.

Ejemplo resuelto — ecuación cosh–sinh (original). Resuelve $2\cosh x + \sinh x = 2$: el definiciones exponenciales dan $2\cdot\tfrac12(e^x + e^{-x}) + \tfrac12(e^x - e^{-x}) = 2$, por lo tanto $3e^x + e^{-x} = 4$, es decir, $3e^{2x} - 4e^x + 1 = 0$, es decir, $(3e^x - 1)(e^x - 1) = 0$, y $x = 0$ o $x = -\ln 3$. Verifica ambos en la ecuación original — nunca se necesita elevar al cuadrado.

Los inversos existen como funciones únicas porque $\sinh$ y $\tanh$ son inyectivas y $\cosh$ es inyectiva para $x \ge 0$; sus gráficas son reflexiones respecto a $y = x$ de los originales restringidos. Los equivalentes logarítmicos deben derivarse, no solo citarse:

Patrón de derivación (arsinh). Establece $w = \sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$: entonces $e^{2x} - 2we^x - 1 = 0$, por lo tanto $e^x = w + \sqrt{w^2 + 1}$ (la raíz negativa se rechaza porque $e^x > 0$) y $x = \ln(w + \sqrt{w^2+1})$. La misma estructura cuadrática en ⟨$e^x$⟩ resuelve cada ecuación hiperbólica mixta exactamente.

La elipse $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ tiene forma paramétrica $x = a\cos t$, $y = b\sin t$; la hipérbola $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ tiene $x = a\sec t$, $y = b\tan t$ y también $x = a\cosh t$, $y = b\sinh t$ (la rama derecha). El excentricidad $e$ vincula todo a la propiedad foco–directriz $PS = e\cdot PN$ (distancia al foco = $e$ × distancia a la directriz): para la elipse $b^2 = a^2(1 - e^2)$, focos $(\pm ae, 0)$, directrices $x = \pm\dfrac ae$; para la hipérbola $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ con las mismas fórmulas de foco y directriz.

Ejemplo resuelto — excentricidad y focos (WFM03 Junio 2025 P9a). Para H: $\dfrac{x^2}{64} - \dfrac{y^2}{49} = 1$: $a^2 = 64$, $b^2 = 49$, por lo tanto $49 = 64(e^2 - 1)$, $e^2 = \tfrac{113}{64}$ y $e = \tfrac{\sqrt{113}}8$; los focos son $(\pm\sqrt{113}, 0)$.

Sustituyendo $y = mx + c$ en la cónica y forzando un discriminante nulo se obtiene la tangente condición: $c^2 = a^2m^2 + b^2$ para la elipse, $c^2 = a^2m^2 - b^2$ para la hipérbola (por lo $\lvert m\rvert > \tfrac ba$ es necesario allí). En un punto paramétrico, derivar en su lugar — no se requiere discriminante. Los problemas de locus repiten FP1: distancias a focos, puntos medios o una razón fija.

Ejemplo resuelto — tangente, normal y círculo focal (WFM03 Junio 2025 P9b–e). En $P(8\sec\theta, 7\tan\theta)$ sobre H: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{7\sec^2\theta}{8\sec\theta\tan\theta} = \dfrac{7\sec\theta}{8\tan\theta}$, por lo que la tangente es

que corta el eje $y$ en $Q = (0, -7\cot\theta)$; la normal dada $8x\cos\theta + 7y\cot\theta = 113$ lo corta en $R = (0, \tfrac{113}7\tan\theta)$. El círculo de diámetro $QR$ (extremos $q, r$ sobre el eje $y$) tiene ecuación $x^2 + (y - \tfrac{q+r}2)^2 = (\tfrac{r-q}2)^2$, la cual contiene un punto $(x, 0)$ exactamente cuando $x^2 = -qr$. Aquí $qr = -7\cot\theta\cdot\tfrac{113}7\tan\theta = -113$ para cada $\theta$, y $113 = (\sqrt{113})^2$ es exactamente la distancia focal al cuadrado — así que ambos focos $(\pm\sqrt{113}, 0)$ están sobre el círculo. La cancelación de $\theta$ es el punto clave de la pregunta.

$\dfrac d{dx}\sinh x = \cosh x$, $\dfrac d{dx}\cosh x = \sinh x$, $\dfrac d{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2x$, y a partir de las inversas: $\dfrac d{dx}\operatorname{arsinh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2+1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{arcosh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2-1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{artanh}x = \dfrac1{1-x^2}$ — cada una demostrable invirtiendo $y = f(x)$ y diferenciando implícitamente, y cada una válida solo en su dominio.

Ejemplo resuelto — derivadas de inversas en un dominio restringido (WFM03 Junio 2025 P4). Para Matriz $y = \operatorname{arsinh}x + \operatorname{arsinh}\dfrac1x$ con vector $x > 0$:

donde $x > 0$ convierte $\sqrt{x^2}$ en $x$ — la condición del dominio está haciendo trabajo real. Estableciendo $\dfrac{dy}{dx} = 0$ se obtiene $x = 1$ y $y = 2\operatorname{arsinh}1 = 2\ln(1 + \sqrt2)$.

Los resultados estándar reflejan las derivadas. Completar el cuadrado primero para denominadores con raíz, y manejar funciones inversas por partes — tomar $u$ como la función inversa y $1$ como el resto:

Ejemplo resuelto — ambas técnicas (WFM03 Junio 2025 P2). (i) $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+8x+9}}$: ya que $4x^2 + 8x + 9 = 4\left((x+1)^2 + \tfrac54\right)$, la integral es $\tfrac12\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + 5/4}} = \tfrac12\operatorname{arsinh}\frac{2x+2}{\sqrt5} + c$ (derivar hacia atrás para verificar). (ii) $\displaystyle\int\operatorname{arcosh}3x\,dx = x\operatorname{arcosh}3x - \int\frac{3x}{\sqrt{9x^2-1}}dx = x\operatorname{arcosh}3x - \tfrac13\sqrt{9x^2-1} + c$.

Cuatro integrales que deben dominarse de memoria, cada una vía $x = a\sinh t$ (o $x = a\tan t$, descomposiciones tipo $a\coth$): $\displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \operatorname{arsinh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \operatorname{arcosh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2+a^2} = \tfrac1a\arctan\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2-a^2} = \tfrac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + c$. Una fórmula de reducción expresa $I_n$ mediante $I_{n-1}$ (o $I_{n-2}$): integrar por partes con el radical como $v$, luego reescribir el radical restante integral usando la definición de $I_n$. Longitud de arco y la superficie de revolución necesitan $s = \displaystyle\int\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$. Verifica qué modo tiene tu calculadora antes de cada pregunta. $S = 2\pi\displaystyle\int y\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ (paramétricamente, $s = \int\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}\,dt$ con $y\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ para $S$).

Ejemplo resuelto — construcción de una fórmula de reducción (WFM03 junio 2025 P5). Con $I_n = \displaystyle\int_1^6 \frac{x^n}{\sqrt{3x-2}}dx$, tomar $u = x^n$ y $v = \tfrac23\sqrt{3x-2}$:

usando $\sqrt{3x-2} = \dfrac{3x-2}{\sqrt{3x-2}}$ para exponer $I_n$ y $I_{n-1}$. Recogiendo: $(3 + 6n)I_n = 4nI_{n-1} + 8\cdot6^n - 2$. Sembrar con $I_0 = \tfrac23(4 - 1) = 2$ y $I_1 = 6$ (por sustitución directa), luego $15I_2 = 8(6) + 8(36) - 2 = 334$, y $21I_3 = 12\cdot\tfrac{334}{15} + 8(216) - 2$, dando $I_3 = \tfrac{3322}{35}$.

Ejemplo resuelto — una superficie con sustitución sinh (WFM03 junio 2025 P7). Rotando $y = \cos 2x$, $0 \le x \le \tfrac\pi4$, a través de $2\pi$ alrededor del eje $x$ (calculadora prohibida): $S = 2\pi\displaystyle\int_0^{\pi/4}\cos 2x\sqrt{1 + 4\sin^22x}\,dx$. Con $2\sin 2x = \sinh\theta$, entonces $4\cos 2x\,dx = \cosh\theta\,d\theta$, la integral se convierte en $\tfrac\pi2\displaystyle\int\cosh^2\theta\,d\theta = \tfrac\pi4\Big[\sinh\theta\cosh\theta + \theta\Big]$ entre $0$ y $\operatorname{arsinh}2 = \ln(2+\sqrt5)$, entonces $S = \tfrac\pi4\left(2\sqrt5 + \ln(2+\sqrt5)\right)$ — los factores de $\cos 2x$ se cancelan exactamente, que es por qué se proporciona la sustitución.

El producto vectorial $\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$ es perpendicular a ambos factores con $\lvert\mathbf a\times\mathbf b\rvert = \lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert\sin\theta$ — el área del paralelogramo. El producto triple escalar $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ es el volumen del paralelepípedo con signo; cero significa que los tres vectores son coplanares. Rectas: $\mathbf r = \mathbf a + t\mathbf b$ o $(\mathbf r - \mathbf a)\times\mathbf b = \mathbf 0$; planos: $\mathbf r\cdot\mathbf n = p$ o $\mathbf r = \mathbf a + s\mathbf b + t\mathbf c$ con $\mathbf n = \mathbf b\times\mathbf c$. Distancia de un punto a un plano: $\dfrac{\lvert\mathbf x\cdot\mathbf n - p\rvert}{\lvert\mathbf n\rvert}$; distancia mínima entre rectas alabeadas: proyectar el desplazamiento entre puntos de anclaje sobre la normal común $\mathbf b_1\times\mathbf b_2$.

Ejemplo resuelto — planos a rectas a distancia (WFM03 Junio 2025 Pregunta8). Para $\Pi_1: \mathbf r = (4,2,-1) + \lambda(7,5,-6) + \mu(-3,1,2)$: la normal es $(7,5,-6)\times(-3,1,2) = (16,4,22) = 2(8,2,11)$, y sustituyendo el punto de anclaje se obtiene $\mathbf r\cdot(8\mathbf i + 2\mathbf j + 11\mathbf k) = 32 + 4 - 11 = 25$. Intersección con $\Pi_2: x - y + z = 7$: la dirección de la recta es $(8,2,11)\times(1,-1,1) = (13,3,-10)$ y un punto que satisface ambos planos es $(\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1)$, por lo tanto $(\mathbf r - (\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1))\times(13,3,-10) = \mathbf 0$. La recta que pasa por $A(2,1,3)$ y $B(3,0,2)$ tiene dirección $(1,-1,-1)$; la normal común es $(13,3,-10)\times(1,-1,-1) = (-13,3,-16)$, y la distancia mínima es

Los determinantes e inversas se extienden a $3\times3$: expandir a lo largo de cualquier fila o columna (signos $+\,-\,+\,-\,+\,-$); $\mathbf A^{-1} = \dfrac1{\det\mathbf A}(\text{adjugate})$, siendo el adjunto la transpuesta de la matriz de cofactores. Las matrices singulares ($\det = 0$) no tienen inversa y colapsan la dimensión. $(\mathbf{AB})^T = \mathbf B^T\mathbf A^T$ y $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$. Un valor propio $\lambda$ con vector propio $\mathbf v$ satisface $\mathbf{Av} = \lambda\mathbf v$ — fila por fila, cada componente de $\mathbf{Av}$ es igual a $\lambda$ multiplicado por la componente correspondiente de $\mathbf v$ (no $\lambda$ mismo). Dado $\mathbf v$, lea $\lambda$ de cualquier fila con un producto distinto de cero; de lo contrario, resuelva $\det(\mathbf A - \lambda\mathbf I) = 0$ y sustituya hacia atrás. Para una matriz simétrica $\mathbf A$, los vectores propios para valores propios distintos son ortogonales, y una matriz ortogonal $\mathbf P$ de vectores propios normalizados la diagonaliza: $\mathbf P^T\mathbf{AP} = \mathbf D$.

Ejemplo resuelto — valores propios a partir de un vector propio dado (WFM03 junio 2025 P3). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&a&b\\a&1&b\end{pmatrix}$ tiene vector propio $\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$. Fila 1: $1 - 2 + 4 = 3 = 3(1)$, por lo tanto $\lambda = 3$. Fila 2: $3 + 2a + b$ debe ser igual a $\lambda\times 2 = 6$, y fila 3: $a + 2 + b$ debe ser igual a $\lambda\times 1 = 3$. Entonces $2a + b = 3$ y $a + b = 1$: restando, $a = 2$ y $b = -1$. Con $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&2&-1\\2&1&-1\end{pmatrix}$: la traza es $2$ y, expandiendo a lo largo de la fila 1, $\det\mathbf M = 1(-2+1) + 1(-3+2) + 4(3-4) = -1 - 1 - 4 = -6$. Los restantes valores propios suman entonces $2 - 3 = -1$ y multiplican a $\tfrac{-6}3 = -2$: son $1$ y $-2$. Vectores propios: para $\lambda = 1$, resolviendo $(\mathbf M - \mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ se obtienen $-\,y + 4z = 0$ y $3x + y - z = 0$, por lo que $\mathbf v = (-1, 4, 1)$; para $\lambda = -2$, $(\mathbf M + 2\mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ da $3x - y + 4z = 0$ y $2x + y + z = 0$, por lo tanto $\mathbf v = (-1, 1, 1)$ (verificados en ambas filas). La traza y Los determinantes son verificaciones gratuitas: $3 + 1 - 2 = 2$ ✓ y $3\cdot1\cdot(-2) = -6$ ✓.

Ejemplo resuelto — singularidad e inversa con un parámetro (WFM03 Junio 2025 Pregunta6). $\mathbf A = \begin{pmatrix}1&k&2\\5&3&-2\\6&-1&4\end{pmatrix}$: $\det\mathbf A = 1(12-2) - k(20+12) + 2(-5-18) = -36 - 32k$, por lo tanto $\mathbf A$ es singular cuando $k = -\tfrac98$. El adjugado (cofactores transpuestos) proporciona

Verificar la entrada (1,1) del producto: $(1,k,2)\cdot(10,-32,-23) = 10 - 32k - 46 = -36 - 32k$, que se cancela con el determinante para dar $1$ ✓.

• Definir $\cosh, \sinh, \tanh$ a partir de exponenciales; derivar las identidades fundamentales; resolver ecuaciones mixtas mediante cuadráticas en $e^x$ con respuestas exactas en $\ln$.
• Derivar las formas logarítmicas de $\operatorname{arsinh}, \operatorname{arcosh}, \operatorname{artanh}$; diferenciar inversas respetando sus dominios.
• Usar parametrizaciones de elipse e hipérbola; convertir entre $b^2 = a^2(1-e^2)$ y $a^2(e^2-1)$; localizar focos y directrices; hallar tangentes/normales en puntos paramétricos y mediante la condición $y = mx + c$ $c^2 = a^2m^2 \pm b^2$.
• Diferenciar e integrar funciones hiperbólicas e inversas, incluyendo integración por partes para integrandos tipo $\int\operatorname{arcosh}$.
• Conocer las cuatro integrales estándar de radicales/racionales; construir fórmulas de reducción por partes e iterarlas; calcular longitudes de arco y superficies de revolución exactamente.
• Calcular $\mathbf a\times\mathbf b$ y $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ con sus significados de área y volumen; transitar entre formas planas y lineales; encontrar distancias punto-plano y rectas alabeadas.
• Evaluar determinantes de $3\times3$, invertir mediante el adjugado, manejar el caso singular, hallar autovalores/autovectores (normalizados si se solicita) y diagonalizar matrices simétricas con una matriz ortogonal $\mathbf P$.