P3 · Pure Mathematics 3

Matemáticas Puras 3 (P3) amplía P1 y P2: funciones racionales e inversas, módulo, transformaciones combinadas, funciones trigonométricas recíprocas y forma armónica, ajuste de modelo log-gráfico reglas completas de diferenciación, integración por reconocimiento y métodos numéricos. Se asumen conocimientos de P1 y P2, que pueden evaluarse en el examen WMA13/01 (1 hora 30 minutos, 75 puntos; mismas reglas de calculadora y folleto de fórmulas).

Fórmulas que debes conocer para P3 (no incluidas en el folleto):

Simplifica expresiones racionales factorizando y cancelando; división algebraica sirve para denominadores hasta cuadráticos. Solo cancela factores, nunca términos.

Una función es una correspondencia uno-a-uno o muchos-a-uno; su dominio son las entradas permitidas y su rango los valores de salida. La composición $fg$ significa "hacer primero $g$, luego $f$". La inversa $f^{-1}$ deshace $f$ (existe donde $f$ es uno-a-uno), y $f^{-1}f(x) = ff^{-1}(x) = x$; la gráfica de $f^{-1}$ refleja la gráfica de $f$ respecto a $y = x$.

Ejemplo resuelto — inversa y composición (adaptado de Edexcel IAL WMA13 Junio 2025 Q1). $f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}$, $x \ge 0$.

(a) Rango de $f$.

• En $x = 0$: $f(0) = 0$; cuando $x \to \infty$: $f(x) \to \tfrac23$ por debajo, y $f$ está aumentando (mayor $x$ da mayor $f(x)$).
  $$0 \le f(x) < \tfrac23$$

(b) Encuentra $f^{-1}(x)$.

• Sea $y = \dfrac{2x}{3x+1}$ y resuelva para $x$:
  $$y(3x + 1) = 2x \implies 3xy + y = 2x \implies x(3y - 2) = -y \implies x = \frac{y}{2 - 3y}$$
  $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2 - 3x}$$
• Verifique: $f\!\left(\tfrac{x}{2-3x}\right) = \dfrac{2x/(2-3x)}{3x/(2-3x) + 1} = \dfrac{2x}{3x + 2 - 3x} = x$ ✓.

(c) Resuelva $f^{-1}(x) = f(x)$.

• Verifique: $f(\tfrac13) = \tfrac{2/3}{2} = \tfrac13 = f^{-1}(\tfrac13)$ ✓.

El valor absoluto $|x|$ es $x$ para $x \ge 0$ y $-x$ para $x < 0$: $y = |ax + b|$ es la recta $y = ax + b$ con su parte negativa reflejada sobre el eje. Dado $y = f(x)$, dibuje $y = |f(x)|$ (refleje cualquier parte por debajo del eje) y $y = f(|x|)$ ( conserve la mitad derecha, refléjela hacia la izquierda). Resuelva ecuaciones de valor absoluto gráficamente o por casos, probando cada solución.

Transformaciones combinadas aplican las reglas P1 juntas, por ejemplo $y = 2f(3x)$ o $y = f(-x) + 1$: los estiramientos multiplican, las traslaciones luego desplazan; el orden dado en el programa es $y = af(x)$, $y = f(x) + a$, $y = f(x+a)$, $y = f(ax)$ combinados en una sola expresión ($y = f(ax+b)$ como tal no se requiere).

Ejemplo resuelto — ecuación de valor absoluto (ejemplo propio del programa). Resuelva $|2x - 1| = x + 5$.

• Caso $2x - 1 \ge 0$ ($x \ge \tfrac12$): $2x - 1 = x + 5 \implies x = 6$ ✓ (satisface $x \ge \tfrac12$).
• Caso $2x - 1 < 0$: $-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\tfrac43$ ✓ ($< \tfrac12$).
• Ambas soluciones son $x = 6$ y $x = -\tfrac43$. Verifique: $|2(6) - 1| = 11 = 6 + 5$ ✓; $|-\tfrac83 - 1| = \tfrac{11}3 = -\tfrac43 + 5$ ✓.

Las funciones recíprocas:

con identidades $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ y $\operatorname{cosec}^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$. Sus gráficas tienen asíntotas donde la función del denominador es cero. Las funciones inversas $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ requieren dominios restringidos: $\arcsin: [-1, 1] \to [-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2]$, $\arccos: [-1,1] \to [0, \pi]$, $\arctan: \mathbb{R} \to (-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2)$.

Forma armónica: $a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)$ con $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ y $\tan\alpha = \dfrac ba$ — un número, un ángulo, listos para maximizar o resolver.

Ejemplo resuelto — forma armónica (adaptado de Edexcel IAL WMA13 Junio 2025 Pregunta2). Expresar $f(x) = 7\cos x - 24\sin x$ en la forma $R\cos(x + \alpha)$, $R > 0$, $0 < \alpha < 2\pi$.

• $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$.
• Desarrollar $R\cos(x + \alpha) = R\cos x\cos\alpha - R\sin x\sin\alpha$ y igualar: $25\cos\alpha = 7$ y $25\sin\alpha = 24$, por lo tanto $\tan\alpha = \tfrac{24}{7}$ y
  $$\alpha = 1.287 \ (3\ \text{d.p.}) \qquad f(x) = 25\cos(x + 1.287)$$
• Verificar: $25\cos(0 + 1.287) = 25(0.28) = 7.0$ ✓ y $-25\sin(1.287) = -24.0$ ✓.

Ejemplo resuelto — demostración de identidad (adaptado de Edexcel IAL WMA13 Junio 2025 Pregunta8a). Demostrar $\tan 3x \equiv \dfrac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

• Escribir $3x = 2x + x$ y usar la fórmula de ángulo compuesto:
  $$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x\tan x}, \qquad \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2t}{1 - t^2} \ (t = \tan x)$$
• Sustituir:
  $$\tan 3x = \frac{\frac{2t}{1-t^2} + t}{1 - \frac{2t^2}{1-t^2}} = \frac{2t + t(1 - t^2)}{(1 - t^2) - 2t^2} = \frac{3t - t^3}{1 - 3t^2} \qquad \blacksquare$$
• Check at $x = \tfrac\pi6$ ($t = \tfrac1{\sqrt3}$): numerator $\tfrac{3}{\sqrt3} - \tfrac{1}{3\sqrt3} = \tfrac{8}{3\sqrt3}$; denominator $1 - 1 = 0$ — and $\tan\tfrac\pi2$ no está definido ✓ consistente.

$y = e^x$ pasa por $(0, 1)$ y crece sin límite; $\ln x$ es su inversa con dominio $x > 0$ y el eje $y$ como asíntotas. Resolver $e^{ax+b} = p$ tomando $\ln$, y $\ln(ax + b) = q$ exponenciando.

Modelos de gráfico logarítmico: para $y = ax^n$, tomar logaritmos da $\log y = n\log x + \log a$ — graficar $\log y$ frente a $\log x$ para una línea recta con pendiente $n$ e intersección $\log a$. Para $y = kb^x$, graficar $\log y$ frente a $x$: pendiente $\log b$, intersección $\log k$.

Ejemplo resuelto — recuperar una ley de potencias (adaptado de Edexcel IAL WMA13 Junio 2025 P3). Una línea ⟨log $\log_{10}y$ – log $\log_{10}x$⟩ pasa por $(-3.5, 0)$ y $(0, -2)$. Expresar $y$ como $px^q$.

• Pendiente: $\dfrac{0 - (-2)}{-3.5 - 0} = -\dfrac47$; intersección $-2$:
  $$\log_{10} y = -\tfrac47\log_{10}x - 2$$
• Convertir: $y = 10^{-\frac47\log_{10}x - 2} = 10^{-2}\,x^{-4/7}$, por lo tanto
  $$y = \frac{1}{100}\,x^{-4/7} \qquad (p = \tfrac{1}{100},\ q = -\tfrac47)$$
• Verificar con un punto en la línea: $\log_{10}x = 0 \Rightarrow x = 1$, $\log_{10}y = -2 \Rightarrow y = \tfrac{1}{100}$ ✓ and the formula gives $y = \tfrac{1}{100}\cdot 1 = \tfrac{1}{100}$ ✓.

Ejemplo resuelto — modelo de decaimiento exponencial (adaptado de Edexcel IAL WMA13 Junio 2025 P6). Un procesador se enfría según $\theta = 21 + Ae^{-kt}$ ($\theta$ en °C, $t$ en minutos), partiendo de 75 °C, alcanzando 25 °C después de 5 minutos; encontrar $A$, $k$, y el tiempo cuando la temperatura desciende a 9 °C por minuto.

• En $t = 0$: $75 = 21 + A$, luego $A = 54$.
• En $t = 5$: $25 = 21 + 54e^{-5k} \implies e^{-5k} = \tfrac{4}{54} = \tfrac{2}{27}$:
  $$-5k = \ln\tfrac{2}{27} \implies k = \tfrac15\ln\tfrac{27}{2} = 0.521 \ (3\ \text{s.f.})$$
• Tasa: $\dfrac{d\theta}{dt} = -54ke^{-kt}$; igual a $-9$:
  $$e^{-kt} = \frac{9}{54 \times 0.521} = \frac{9}{28.13} \implies T = \frac{\ln(28.13/9)}{0.521} = 2.19 \ (2\ \text{d.p.})$$
• El valor inicial es 75 °C y el piso a largo plazo es 21 °C.
• Comprobación: en $T = 2.19$, $\theta = 21 + 54e^{-0.521(2.19)} = 21 + 54(0.320) = 38.3$ °C, descendente a $28.13 \times 0.320 = 9.0$ °C/min ✓. El piso del modelo es 21 °C (temperatura ambiente) — razonable para grandes $t$.

Diferenciar $\sin kx$, $\cos kx$, $\tan kx$ ($\to k\sec^2 kx$), $e^{kx}$, $\ln kx$ ($\to \tfrac1x$), más sumas y restas.

Tres reglas amplían el alcance: la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la cadena.

$\sec x \to \sec x\tan x$, $\operatorname{cosec} x \to -\operatorname{cosec} x\cot x$, $\cot x \to -\operatorname{cosec}^2 x$ se deducen de la regla del cociente. La diferenciación implícita usa $\dfrac{dy}{dx} = 1 \div \dfrac{dx}{dy}$ when $x$ is given in terms of $y$.

Ejemplo resuelto — producto y cadena juntos (de los propios ejemplos del programa). Diferenciar $e^{-x^2}\sin 3x$ (adaptado de Edexcel IAL WMA13 Junio 2025 P7).

• Regla del producto con $u = e^{-x^2}$ (cadena: $u' = -2xe^{-x^2}$) y $v = \sin 3x$ ($v' = 3\cos 3x$):
  $$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}\sin 3x + 3e^{-x^2}\cos 3x = e^{-x^2}\big(3\cos 3x - 2x\sin 3x\big)$$
• Comprobación en $x = 0$: derivada $= 1 \times (3 - 0) = 3$, y cerca de $0$ la curva se comporta como $\sin 3x$ con pendiente 3 ✓.

Integrar las formas directamente, y usar formas de reconocimiento (detectar $f'$ dentro de la integral):

Las identidades trigonométricas convierten $\sin^2 x$, $\cos^2 x$ y $\tan^2 x$ en formas integrables ($\cos 2A \equiv 1 - 2\sin^2 A$, $\cos 2A \equiv 2\cos^2 A - 1$; $\tan^2 \equiv \sec^2 - 1$).

Ejemplo resuelto — identidad primero (adaptado de Edexcel IAL WMA13 Junio 2025 Pregunta5). Encontrar $\displaystyle\int\sin^2 3x\,dx$.

• Ángulo doble con $A = 3x$: $\cos 6x \equiv 1 - 2\sin^2 3x$, por lo tanto $\sin^2 3x = \tfrac12(1 - \cos 6x)$:
  $$\int \sin^2 3x\,dx = \tfrac12\int(1 - \cos 6x)\,dx = \tfrac12\left(x - \tfrac16\sin 6x\right) + c = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + c$$
• Verificar derivando: $\tfrac12 - \tfrac{6\cos 6x}{12} = \tfrac12(1 - \cos 6x) = \sin^2 3x$ ✓.

Ejemplo resuelto — reconocimiento. Encontrar $\displaystyle\int \frac{6x}{3x^2 + 4}\,dx$.

• El numerador es la derivada del denominador ($f' = 6x$, $f = 3x^2 + 4$):
  $$\int\frac{6x}{3x^2+4}\,dx = \ln\lvert 3x^2 + 4\rvert + c$$
• Verificar: $\dfrac{d}{dx}\ln(3x^2+4) = \dfrac{6x}{3x^2+4}$ ✓. La forma potenciada funciona igual: con $u = 3x^2 + 4$ y $du = 6x\,dx$,
  $$\int x\,(3x^2+4)^4\,dx = \tfrac16\int u^4\,du = \frac{(3x^2+4)^5}{30} + c$$
  y al derivar $\dfrac{(3x^2+4)^5}{30}$ se obtiene $\dfrac{5(3x^2+4)^4 \cdot 6x}{30} = x(3x^2+4)^4$ ✓.

• Cambio de signo: si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f(a)f(b) < 0$, hay una raíz entre $a$ y $b$. Reducir el intervalo a la mitad permite acotar la raíz con cualquier precisión deseada.
• Iteración: un reordenamiento $x_{n+1} = f(x_n)$ a partir de un valor inicial converge hacia un punto fijo (o no — siempre verificar contra un límite de cambio de signo).

Ejemplo resuelto — localizar e iterar (adaptado de Edexcel IAL WMA13 Junio 2025 Pregunta7). El punto estacionario de $y = e^{-x^2}\sin 3x$ cerca de $x = 0.4$ satisface $x = \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$.

(a) Con $x_1 = 0.4$:

• Verificar que la iteración converge: $|x_3 - x_2|$ pequeño y los valores tienden hacia 0.43 ✓. (b) Demostrar que la raíz es 0.430 hasta 3 decimales: definir $g(x) = x - \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$ (o la expresión derivada del ejemplo resuelto anterior):
  $$g(0.4295) = -1.1 \times 10^{-3} < 0 \qquad g(0.4305) = +6.4 \times 10^{-5} > 0$$
• $g$ es continua, y el cambio de signo entre 0.4295 y 0.4305 acota una raíz, por lo que la raíz está en 0.430 a 3 d.p. ✓.

• Simplificar expresiones racionales; factorizar antes de simplificar; dividir por divisores lineales o cuadráticos divisores.
• Trabajar con dominio, rango, composición e inversas; verificar inversas mediante composición hasta obtener $x$.
• Dibujar y resolver ecuaciones de valor absoluto por casos con verificación; combinar dos transformaciones en un solo gráfico.
• Usar sec, cosec, cot y sus identidades; conocer los dominios restringidos de las funciones inversas.
• Convierta $a\cos\theta + b\sin\theta$ a $R\cos(\theta \pm \alpha)$; lea los máximos y resuelva.
• Demostrar identidades de ángulo compuesto y doble; usarlas hacia adelante y hacia atrás.
• Resolver $e^{ax+b} = p$ y $\ln(ax+b) = q$; recuperar $y = ax^n$ y $y = kb^x$ a partir de gráficos logarítmicos.
• Derivar usando regla del producto, cociente y cadena, incluyendo $\sec/\operatorname{cosec}/\cot$; aplicar $\frac{dy}{dx} = 1 \div \frac{dx}{dy}$.
• Modelar crecimiento y decaimiento; interpretar el valor inicial y el límite asintótico a largo plazo; criticar el modelo.
• Integrar formas estándar; identificar $\int f'/f$ y $\int f'(f)^n$; usar identidades en funciones trigonométricas al cuadrado trigonométricas.
• Localizar raíces mediante cambio de signo con afirmación de continuidad; ejecutar y verificar una iteración.