Alcance y requisitos previos
Marco ACT, revisión de febrero de 2026. Los casos de aula originales no son una forma oficial; conserve los límites puntuados o probados en campo de cada formulario de origen.
- Sumar y escalar vectores componente a componente
- Multiplicar una matriz y un vector con dimensiones coincidentes
- Interpretar entradas y unidades en un modelo cuantitativo
Prerrequisitos: Pares ordenados; Pitágoras; multiplicación y suma.
Explicar y elegir el método
Un vector bidimensional registra un desplazamiento ordenado u otra cantidad pareada. Sume las componentes correspondientes y multiplique ambas por un escalar. El vector de A a B es B-A, no A-B. Su magnitud es √(u²+v²) en un plano de coordenadas euclídeo; la dirección y la magnitud son informaciones distintas.
Una matriz organiza entradas en filas y columnas. Solo sume matrices de la misma forma, entrada por entrada. Para la multiplicación, el número de columnas del primer factor debe ser igual al número de filas del segundo. Una matriz 2-por-3 multiplicada por un vector 3-por-1 produce un resultado 2-por-1: cada salida es el producto punto de una fila con el vector.
El orden importa: la multiplicación matricial generalmente no es conmutativa. Si A times B está definido, B times A puede estar indefinido o producir un resultado diferente. Para una fila que contiene cantidades de artículos y una columna con precios unitarios del mismo orden de artículos, el producto punto da el costo total. Un orden de artículos desajustado produce una respuesta numéricamente limpia pero sin significado.
Etiquete cada componente y unidad antes de calcular. Un vector de desplazamiento usa unidades de distancia, mientras que una entrada de matriz puede ser un conteo, costo o tasa. Después de la multiplicación, interprete las unidades de la salida. Los problemas ACT pueden proporcionar la definición de la operación; siga esa definición en lugar de asumir que un símbolo desconocido siempre significa multiplicación ordinaria.
Una matriz utiliza filas y columnas etiquetadas. Una fila de cantidades $(2,3)$ y una columna de precios $(4,5)^T$ dan un costo $2(4)+3(5)=23$. Las dimensiones internas deben coincidir antes de que exista un producto matricial. Un vector de desplazamiento de $A$ a $B$ es $B-A$.
Ejemplo resuelto existente: Desplazamientos (3,4) y (-1,2) suman (2,6); el primero tiene magnitud 5. Dos filas de compras (2,1) y (1,3), con precios (4,5), dan costos 2·4+1·5=13 y 1·4+3·5=19. La matriz [[2,1],[1,3]] multiplicada por la columna [4,5] es la columna [13,19]. Las entradas representan conteos veces precio por artículo.
Contexto original completo
Cada pregunta de transferencia establece todos los datos necesarios.
Práctica independiente y razonamiento verificado
Transferencia 1
Los puntos A y B en metros son $(1,-2)$ y $(7,6)$. Encuentre el desplazamiento de A a B y su magnitud. Luego encuentre el punto final después de añadir el desplazamiento $(-3,2)$ metros a B.
Razonamiento: $\overrightarrow{AB}=B-A=(6,8)\,\mathrm{m}$. Magnitud $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{m}$. Nuevo punto final $B+(-3,2)=(4,8)$ metros. La dirección no debe invertirse.
Transferencia 2
Dos pedidos de una tienda tienen filas de cantidades $(3,2)$ y $(1,4)$ para bolígrafos y cuadernos. Los precios son 2 y 7 yuanes respectivamente. Proporcione el producto matricial y los costos de ambos pedidos.
Razonamiento: $Q=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$, $p=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}$ yuanes por artículo. $Qp=\begin{pmatrix}3(2)+2(7)\\1(2)+4(7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\30\end{pmatrix}$ yuanes. El orden de los artículos debe coincidir con el orden de los precios.
Transferencia 3
A es 2 por 3 y B es 3 por 4. Indique el tamaño de AB y si BA está definido.
Razonamiento: AB tiene dimensión interna coincidente 3 y dimensiones externas 2 por 4. BA requeriría 4=2, por lo tanto está indefinido. Invertir un producto no es inofensivo.
Límites y próximo uso
Mantenga explícito el tamaño de fila/columna y el orden de los artículos. La magnitud de un vector no es la suma de sus componentes.
Todas las tareas aquí son prácticas originales públicas con orientación redactada. No son preguntas oficiales ni diagnósticos nuevos. Las pruebas y simulacros existentes protegidos permanecen separados.