Alcance y requisitos previos
Marco ACT, revisión de febrero 2026. Los casos de aula aquí no constituyen un formulario oficial de ACT.
- Distinga números racionales e irracionales sin asumir que sus sumas conservan el tipo
- Aplique reglas de exponentes y radicales en el dominio permitido
- Calcule con números complejos usando i²=-1 y conjugados
Prerrequisitos: Ley distributiva; raíces principales; $i^2=-1$.
Explicar y elegir el método
Un número racional es una razón de enteros con denominador distinto de cero; un decimal finito o periódico es racional. Un número real irracional no es dicha razón. El cierre de los racionales bajo suma y multiplicación no implica el cierre de los irracionales. Las raíces exactas pueden simplificarse: √18=3√2 permanece irracional, mientras que √16=4 es racional.
Para una base positiva, a^(m/n) combina una raíz nth y una potencia entera. Un exponente negativo forma un recíproco y requiere una base distinta de cero. Distinga √(x²)=|x| de x. Cuando se involucra una raíz par, respete el dominio real y la raíz principal no negativa. Distribuya potencias sobre productos, no sobre sumas: (a+b)² incluye el término cruzado.
La aritmética compleja usa i²=-1. Sume las partes reales e imaginarias por separado, y multiplique por distribución antes de reducir i². Para dividir por a+bi, multiplique el numerador y el denominador por a-bi; el denominador resultante es a²+b² cuando el original es distinto de cero. Las raíces complejas permiten soluciones a ecuaciones tales como x²=-9 que no tienen raíces reales.
El ACT mejorado aún incluye temas avanzados seleccionados, y no se proporciona ninguna hoja de fórmulas. Construya familiaridad con las reglas definitorias en lugar de adivinar desde la pantalla de una calculadora. Verifique si la pregunta pide soluciones reales o complejas, una raíz exacta o una aproximación decimal. Las verificaciones locales aquí son formativas, no una versión oficial calificada.
Un conjugado complejo cambia el signo imaginario. $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ para real $a,b$. Así $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$. El denominador es distinto de cero; distingue un valor exacto de su aproximación decimal.
Ejemplo resuelto. 16^(3/4)=2³=8. (2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i. Para (1+i)/(1-i), multiplicar por 1+i da (1+i)²/2=2i/2=i. Las soluciones de x²+9=0 son ±3i; ninguna es real.
Material de práctica
Cada pregunta de práctica a continuación establece todos los datos necesarios.
Práctica de razonamiento
Práctica 1
Calcula $(3-2i)/(1+i)$ en forma $a+bi$.
Razonamiento. Multiplicar ambas partes por $1-i$. El numerador es $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$. El denominador es 2. La respuesta es $1/2-(5/2)i$. Multiplicando nuevamente por $1+i$ se obtiene $3-2i$.
Práctica 2
Evalúa $32^{2/5}$ y $\sqrt{(-7)^2}$. Resuelve $z^2+16=0$ sobre los números complejos.
Razonamiento. La quinta raíz de 32 es 2, por lo tanto $32^{2/5}=2^2=4$. La raíz cuadrada principal es $|-7|=7$. Para la ecuación, $z^2=-16$ da $z=4i,-4i$, ambos no reales.
Práctica 3
Proporciona un ejemplo que muestre que el producto de dos números irracionales puede ser racional, y otro en el que sea irracional.
Razonamiento. $\sqrt2\sqrt2=2$ es racional. $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ es irracional. Ni la clausura ni la no clausura para todos los productos se deducen solo de la etiqueta irracional.
Práctica 4
Clasifica $\sqrt{50}$ y $\sqrt{50}\sqrt2$ como racionales o irracionales. Evalúa $32^{2/5}$ y $2^{-3}$. Usa $\sqrt2$ y $-\sqrt2$ para probar si la suma de números irracionales debe ser necesariamente irracional.
Razonamiento. $\sqrt{50}=5\sqrt2$ es irracional, mientras que $\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ es racional. $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ y $2^{-3}=1/2^3=1/8$. La suma de dos números irracionales da cero, que es racional; los irracionales no son cerrados bajo la adición. Estos productos con raíz par utilizan radicandos reales no negativos.
Límites y próximo uso
No infieras que dos términos irracionales deben tener una suma irracional, distribuyas un cuadrado sobre la suma, ni reemplaces √(x²) por x cuando x puede ser negativo.
Estas son tareas de práctica originales escritas para este curso, no preguntas de examen oficiales.