Alcance y requisitos previos
Marco ACT, revisión de febrero 2026. Los casos de aula aquí no constituyen un formulario oficial de ACT.
- Interprete una estimación poblacional y evidencia de simulación sin reclamar prueba
- Calcule cantidades condicionales, compuestas y de valor esperado
- Elija permutaciones o combinaciones según si importa el orden
Prerrequisitos: Porcentajes; poblaciones; selección aleatoria versus asignación.
Explicar y elegir el método
Una muestra aleatoria apoya la inferencia a su población de origen; un margen de error proporciona un intervalo de incertidumbre muestral alrededor de una estimación. La asignación aleatoria, en cambio, apoya una comparación causal de tratamientos. En una simulación, un resultado raramente producido bajo una afirmación puede ser evidencia contra dicha afirmación; la falta de encontrar un resultado inusual no prueba que la afirmación sea verdadera.
La probabilidad condicional restringe el denominador al grupo de condición. Para A o B, resté su intersección después de sumar probabilidades separadas. La independencia permite multiplicar probabilidades inalteradas; los muestreos sin reemplazo requieren conteos actualizados. El valor esperado es la suma de cada resultado posible por su probabilidad, no necesariamente un resultado alcanzado en un solo ensayo.
Use el principio de multiplicación para elecciones sucesivas. Para n objetos distintos, elegir r en orden da n!/(n-r)!; elegir un conjunto sin clasificar da n!/[r!(n-r)!]. Dividir por r! elimina los múltiples órdenes del mismo conjunto. Estas fórmulas asumen objetos distintos y sin reemplazo; diferentes condiciones necesitan un conteo correspondiente.
Traduzca el evento a un conteo antes de calcular su probabilidad. Si un evento favorable puede ocurrir de varias formas disjuntas, sume esas formas; si las trayectorias se superponen, evite contar dos veces. Una respuesta numérica debe estar entre cero y uno para una probabilidad, mientras que un costo o puntuación esperados tienen las unidades de los resultados.
Se suma y se resta un margen de error en puntos porcentuales. Estimar 63% con un margen de 4 puntos da 59%–67%. Es un intervalo procedimental, no una garantía de que la respuesta de cada persona esté cerca de 63%. El muestreo aleatorio apoya la inferencia poblacional; la asignación aleatoria aborda comparaciones de tratamientos.
Ejercicio resuelto. De cinco estudiantes, el número de parejas de capitán/vicecapitán es 5·4=20; el número de parejas sin clasificación es 5·4/2=10. Un juego otorga 4 puntos con probabilidad 1/4 y 0 de otro modo, por lo que la recompensa esperada es 1 punto por juego. Una estimación muestral de 52% ±3 puntos porcentuales da un rango de 49%–55%; no es una garantía para cada muestra ni para cada individuo.
Material de práctica
Cada pregunta de práctica a continuación establece todos los datos necesarios.
Práctica de razonamiento
Práctica 1
Seis estudiantes eligen un presidente y un secretario diferente. ¿Cuántas asignaciones? ¿Cuántos comités de dos personas sin clasificar? Explique la diferencia.
Razonamiento. Los roles ordenados dan $6(5)=30$. Contar parejas sin clasificación duplica cada pareja en ese producto, por lo que hay $6(5)/2=15$. Intercambiar personas cambia los roles pero no un comité sin clasificación.
Práctica 2
Un juego paga 12 fichas con probabilidad 0.1, 3 con probabilidad 0.4, y cero de otro modo. La entrada cuesta 2 fichas. Encuentre el pago esperado y la ganancia neta esperada. ¿Recibe un jugador esa cantidad cada vez?
Razonamiento. La probabilidad restante es 0.5. Hay $E(P)=12(0.1)+3(0.4)+0(0.5)=2.4$ fichas. El neto esperado es $E(G)=E(P)-2=0.4$ ficha por juego. Los resultados netos reales son 10,1, -2; ninguno es igual a 0.4, que es una media a largo plazo bajo el modelo.
Práctica 3
Se extraen dos bolas sin reemplazo de una bolsa con 3 bolas rojas y 2 bolas azules. Encuentre la probabilidad de que ambas sean rojas y de que haya exactamente una roja.
Razonamiento. Es $P(RR)=(3/5)(2/4)=3/10$. Que ocurra exactamente una roja puede ser RB o BR: $P=(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5$. El segundo denominador es 4; los sorteos son dependientes.
Práctica 4
Una muestra aleatoria de 500 miembros registrados de la biblioteca reporta un 62% de apoyo a un cambio, con un margen declarado de 4 puntos porcentuales. Indique el intervalo y la población. ¿Establece esto el apoyo entre todos los residentes del municipio?
Razonamiento. El intervalo va de $62\%-4\%=58\%$ a $62\%+4\%=66\%$, donde la resta denota puntos. La población son los miembros registrados en el marco muestral. Los no miembros no fueron muestreados, por lo que la estimación no establece el apoyo de todos los residentes.
Práctica 5
Cuarenta voluntarios se asignan al azar a instrucciones antiguas o nuevas, con la misma tarea y condiciones. El grupo nuevo termina más rápido. ¿Qué afirmaciones causales y sobre la población son razonables?
Razonamiento. La asignación aleatoria apoya una comparación causal de las versiones de instrucción para estos participantes bajo las condiciones probadas, sujeto a variación. La selección por voluntarios limita la generalización poblacional. No establece que todo usuario futuro terminará más rápido.
Práctica 6
Una encuesta de 10000 voluntarios del sitio web tiene un margen reportado estrecho. Explique por qué el tamaño solo no puede corregir el sesgo de selección y proponga un mejor método de reclutamiento.
Razonamiento. Las personas que eligen responder pueden diferir sistemáticamente de las que no lo hacen. Un margen para la variabilidad muestral no elimina ese sesgo. Seleccione al azar de la población objetivo definida y realice seguimiento de la no respuesta; informe aún así las limitaciones.
Límites y próximo uso
El orden, la reposición y el condicionamiento cambian el cálculo. No rechazar una afirmación estadística no es probar que sea verdadera.
Estas son tareas de práctica originales escritas para este curso, no preguntas de examen oficiales.