إعداد اختبار للمتوسط
مُقدَّمإعطاء ملصق تعبئة ادعاءً للاختبار
- عينة عشوائية خيالية تتكون من 16 حاوية، ومتوسط تعبئتها 496 مليلتر وانحرافها المعياري للعينات 8 مليلتر. يدعي الملصق أن متوسط المجتمع هو 500 مليلتر.
- السؤال هو ما إذا كان متوسط المجتمع أقل من 500 مليلتر. لا يكفي الفرق في متوسطات العينات وحده لحل هذا السؤال.
صياغة الفرضيات حول المجتمع
- ضع $H_0:\mu=500$ والفرضية البديلة المخطط مسبقاً ذات الاتجاه السفلي $H_a:\mu<500$. الرمز $\mu$ يشير إلى متوسط المجتمع.
- لا تضع متوسط العينة المرصود في فرضية العدم الخاصة بالمجتمع. ولا تعكس الاتجاه لأن العينة وقعت بالصدفة تحت قيمة الملصق.
الفرضية الصفرية لاختبار متوسط واحد تأخذ الشكل...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
H0 تنص على متوسط مُدَّعى محدد μ0.
طابق السؤال المخطط مسبقاً مع بديله.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
اختر الاتجاه بناءً على سؤال البحث قبل فحص العينة.
التحقق من متى يكون هذا النموذج المرجعي مفيداً
- تحقق من العشوائية والاستقلالية، بما في ذلك شرط 10% عند السحب بدون إرجاع. مع 16 ملاحظة، افحص الانحياز والقيم المتطرفة بعناية.
- نموذج t دقيق للملاحظات الطبيعية المستقلة ويمكن أن يكون تقريبياً في حالات أخرى مناسبة. اجتياز فحص حسابي لا يثبت افتراضات取样.
μ0 = 500, x-bar = 496, s = 8, n = 16. احسب t = (x-bar − μ0)/(s/√n).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(496−500)/(8/4) = −4/2 = −2.
تقييس باستخدام تباين العينة
- استخدم $t=(\bar x-\mu_0)/(s/\sqrt n)$. هنا $SE=8/\sqrt{16}=2$ مليلتر.
- الإحصاءة المرصودة هي $t=(496-500)/2=-2$. توزيع t المرجعي له $df=16-1=15$ درجات حرية.
مع نفس القيمة t = -2 ودرجات الحرية df = 15، فإن الفرضية البديلة ذات الجانبين لها p ≈ 0.0639. قرارها عند 0.05 يختلف عن اختبار الاتجاه السفلي المخطط مسبقاً.
لـ n = 16، ما هي درجات الحرية لاختبار t لعينة واحدة؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
df = n − 1 = 15.
اختيار الذيل الذي يجيب على السؤال
- الفرضية البديلة ذات الاتجاه السفلي تستخدم المساحة تحت $t=-2$ في توزيع t بـ 15 درجة حرية. وهي تقارب 0.0320.
- مساحة الذيل الأيسر للتوزيع الطبيعي المعياري عند -2 هي حوالي 0.0228، وهي قيمة مختلفة. استبدال مخطط طبيعي بهذا المرجع t يغير الأدلة المعروضة.
يجب أن تتطابق المنحنى المرجعي ودرجات الحرية وقاعدة الذيل مع الإجراء المختار.
للوسط الحسابي بـ σ غير معروف، يجب استخدام اختبار z إذا كانت n كبيرة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بالنسبة لإجراء متوسط نظرية التوزيع الطبيعي المُعلَّم هنا، استخدم t مع الانحراف المعياري للعينة، بما في ذلك عند قيم n الكبيرة؛ حيث تقترب منحنى t من التوزيع الطبيعي.
بالنسبة لـ df = 15 و t = -2، تكون احتمالات ذيل التوزيع t وتوزيع z القياسي (الذيل الأيسر) متطابقة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تقارب احتمالية ذيل توزيع t الأيسر 0.0320؛ بينما تقارب احتمالية ذيل توزيع z القياسي الأيسر 0.0228.
الإبلاغ عن الأدلة بدلاً من اليقين
- عند مستوى دلالة مُختار مسبقاً قدره 0.05، يؤدي p-value التقريبي 0.0320 إلى رفض ادعاء العدم القائل بـ 500 مليلتر لصالح متوسط مجتمع أقل.
- حدد المجتمع، والتصميم، والإحصاء، ودرجة الحرية، وقيمة p، والقرار. الاستنتاج ليس أن كل حاوية فارغة أو أن المتوسط الحقيقي بالتأكيد هو بالضبط 496 ملليلتر.
عند مستوى دلالة محدد مسبقًا قدره 0.05، تؤدي قيمة p التقريبية 0.0320 إلى رفض فرضية الصفر التي تدعي 500 ملليلتر لصالح متوسط سكاني أقل.
المقام في إحصاءية اختبار t لعينة واحدة هو...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
استخدم انحراف معياري للعينة مقسومًا على √n؛ لأن σ غير معروف.
يُرفض ادعاء أن μ = 500 مل في الاختبار ذو الذيل السفلي. أي العبارات مبررة؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يتعلق الاختبار بمتوسط المجتمع مع وجود عدم يقين، ولا يحدد حجم التعبئة لكل حاوية فردية أو متوسط مجتمع دقيق.