التوزيع الاحتمالي لـ x-bar
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| sample mean/ˈsæmpl miːn/ | متوسط العينة |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | الخطأ المعياري |
توزيع x-bar
- متوسط العينة $\bar{x}$ يقدر المتوسط الحقيقي للسكان $\mu$.
- توزيع عيناته مرتكز عند $\mu$: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (لذا $\bar{x}$ هو غير منحاز).
- تعطي كل عينة قيمة مختلفة لـ $\bar{x}$؛ ويقل الانتشار مع حجم العينة.
- هذا هو الإحصاء الأساسي للاستدلال حول المتوسطات.
الانحراف المعياري
- الانحراف المعياري لـ $\bar{x}$ هو:
-
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
- انحراف السكان المقسوم على $\sqrt{n}$ — يُسمى غالبًا الخطأ المعياري.
- مضاعفة $n$ بأربع مرات تقلل الانتشار إلى النصف فقط (بسبب الجذر التربيعي).
الطوبية عبر theorem CLT
- هل $\bar{x}$ طبيعي؟ طريقتان لتبرير ذلك:
- إذا كان السكان طبيعيًا، فإن $\bar{x}$ طبيعي تمامًا لأي $n$.
- بخلاف ذلك، يعطي theorem Central Limit Theorem تقاربًا للطوبية عندما $n \ge 30$.
- always اذكر دائمًا أي تبرير يعتمد عليه مشكلتك.
الشروط والاحتمالات
- تحقق من شرط 10% ($n \le 0.10N$) عند抽取 بدون إرجاع.
- مع تبرير الطوبية، قوّم: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
- ثم ابحث عن احتمالات لـ $\bar{x}$ من التوزيع الطبيعي القياسي.
- يجيب هذا عن سؤال "كم احتمال أن يكون متوسط العينة بعيدًا قدر هذا عن $\mu$؟"
استخدم $\sigma/\sqrt{n}$، وليس $\sigma$، لانتشار $\bar{x}$ — متوسط العينة يتغير أقل بكثير من قيم البيانات الفردية. الخطأ الشائع هو القسمة على $n$ بدلاً من $\sqrt{n}$. وبرّر الطوبية صراحة: إما سكان طبيعي أو theorem CLT مع حجم $n$ كبير — لا تفترض أن $\bar{x}$ طبيعي لعينة صغيرة من سكان مائل.
متوسط المجتمع $\mu = 100$، الانحراف المعياري $\sigma = 20$؛ خذ $n = 25$.
- المركز: $\mu_{\bar{x}} = 100$. الانحراف المعياري: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{20}{\sqrt{25}} = \dfrac{20}{5} = 4$.
- $P(\bar{x} > 108)$: $z = \dfrac{108 - 100}{4} = 2$ → حوالي $2.5\%$.
- لذا فإن متوسط العينة فوق $108$ غير مرجح نسبيًا.
متوسط العينة $\bar{x}$ له $\mu_{\bar{x}} = \mu$ و$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. برّر نموذجًا طبيعيًا إما بسكان طبيعي أو عبر theorem Central Limit Theorem ($n\ge 30$)؛ تحقق من شرط 10% عند抽取 بدون إرجاع، ثم ابحث عن الاحتمالات عبر $z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
التوزيع الاحتمالي لـ x-bar
مركزه عند μ، انتشاره σ/√n (الخطأ المعياري).
σ للمجتمع = 20, n = 25. أوجد SD لـ x-bar، σ/√n.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
20/√25 = 20/5 = 4.
مع μ=100 و SD لـ x-bar = 4، أوجد القيمة z لـ x-bar = 108.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
z = (108 − 100)/4 = 2.
الانحراف المعياري لمتوسط العينة هو...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
اقسم σ على √n — لا على n.
إذا كان المجتمع طبيعيًا بالفعل، فإن x-bar طبيعي لأي حجم عينة n.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المجتمع الطبيعي يعطي x-bar طبيعي تمامًا عند أي n.
لجعل توزيع xاحتمالي لـ x-bar له نصف الانتشار، يجب عليك...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الانتشار ∝ 1/√n، لذا 4× n تُقلل الـ SD للنصف.