التوزيع الاحتمالي لـ p-hat

مفردات

English	المعنى
sample proportion/ˈsæmpl prəˈpɔːʃn/	نسبة العينة
large counts condition/lɑːdʒ kaʊnts kənˈdɪʃn/	شرط العدود الكبيرة
10% condition/ten pəˈsent kənˈdɪʃn/	شرط 10٪

توزيع p-hat

نسبة العينة $\hat{p}$ تُقدّر نسبة المجتمع الحقيقية $p$.
توزيع عيناته مرتكز عند $p$: $\mu_{\hat{p}} = p$ (لذا $\hat{p}$ هو غير منحاز).
العينات المختلفة تعطي $\hat{p}$ مختلفة — الانتشار هو ما سنقيسه بعد ذلك.
تحت الشروط المناسبة، يكون هذا التوزيع تقريباً طبيعياً.

انحرافه المعياري

الانحراف المعياري لـ $\hat{p}$ هو:
$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
كلما增大 $n$ → انتشار أصغر → تقدير أدق (وهو $\sqrt{n}$ في المقام).
هذا يقيس المسافة النموذجية لـ $\hat{p}$ عن $p$ الحقيقي.

شرط الأعداد الكبيرة

لاستخدام نموذج طبيعي لـ $\hat{p}$، تحقق من شرط الأعداد الكبيرة:
$$np \ge 10 \quad\text{and}\quad n(1-p) \ge 10$$
بالكلام: توقع الحصول على $10$ نجاحات على الأقل و $10$ فشل على الأقل.
إذا كان أي عدد أقل من $10$، يكون توزيع العينات مائلاً جداً لنموذج طبيعي.

شرط الـ 10%

عند أخذ العينات بدون إرجاع، تحقق من شرط الـ 10% 10%.
يجب ألا تتجاوز العينة نسبة $10\%$ من المجتمع: $n \le 0.10 N$.
يحافظ هذا على التجارب "قريبة بما يكفي" من الاستقلال لكي تنطبق صيغة الانحراف المعياري.
الجزء الصغير من المجتمع الكبير لا يتغير كثيراً أثناء السحب.

Watch out

شرطان مختلفان يؤديان عمليتين مختلفتين. شرط الأعداد الكبيرة ($np\ge10$، $n(1-p)\ge10$) يبرر الشكل الطبيعي؛ شرط الـ 10% ($n\le0.10N$) يبرر الاستقلال وراء صيغة الانحراف المعياري. تحقق من كلاهما قبل نمذجة $\hat{p}$ كطبيعي — وتخطي أي منهما يلغي الاستدلال لاحقاً.

Example

دعم $p = 0.4$ من المجتمع خطة؛ تأخذ عينة $n = 100$.

المركز: $\mu_{\hat{p}} = 0.4$. الانحراف المعياري: $\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{0.0024} \approx 0.049$.
الأعداد الكبيرة: $np = 40 \ge 10$ و$n(1-p) = 60 \ge 10$. ✓ النموذج طبيعي مقبول.
الـ 10%: جيد طالما أن المجتمع يتجاوز $1000$.

Key idea

لدى نسبة العينة $\hat{p}$ $\mu_{\hat{p}} = p$ و$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. نمّذجها كـ طبيعية عندما يتحقق شرط الأعداد الكبيرة ($np\ge10$، $n(1-p)\ge10$)؛ وعند أخذ العينات بدون إرجاع، تحقق أيضاً من شرط الـ 10% ($n \le 0.10N$).

استكشف