التوزيع الهندسي
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/ | هندسي |
| geometric random variable/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | متغير عشوائي هندسي |
الانتظار لأول نجاح
- التوزيع الهندسي يعد التجارب حتى أول نجاح.
- متغير عشوائي هندسي $X$ = عدد التجارب للحصول على أول نجاح.
- مثال: كم عدد الرمي حتى تحصل على أول رقم ستة؟
- على عكس التوزيع الثنائي، $n$ ليست ثابتة — تتوقف فور的成功.
الإعداد الهندسي
- نفس شروط التجربة كتوزيع ثنائي، لكن قاعدة إيقاف مختلفة:
- تكرار تجارب مستقلة، كل منها بنفس احتمالية $p$ للنجاح.
- تستمر حتى أول نجاح، ثم تتوقف.
- "حتى أول نجاح" هي الكلمة الدالة على التوزيع الهندسي.
صيغة التوزيع الهندسي
-
$$P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p$$
- للنجاح أولاً في التجربة $k$: فشل $k-1$ مرات الأولى، ثم نجحت.
- $(1-p)^{k-1}$ = تلك الفشل؛ $p$ = النجاح في التجربة $k$.
- تتناقص الاحتمالات كلما كبر $k$ — النجاح المبكر هو الأكثر احتمالاً.
متوسط التوزيع الهندسي
- المتوسط (عدد التجارب المتوقع) هو:
-
$$\mu_X = \frac{1}{p}$$
- إذا $p = 0.2$، تتوقع $1/0.2 = 5$ تجارب في المتوسط حتى أول نجاح.
- النجاحات الأقل تكراراً ($small$p$) تعني أنك تنتظر طويلاً — هذا منطقي.
الفرق بين الهندسي والثاني reductions to the stopping rule. ثنائي: عدد $n$ ثابت، عد النجاحات. هندسي: استمر حتى أول نجاح، عد التجارب. إذا حددت مشكلة عدد المحاولات، فهي ثنائية؛ إذا قالت "حتى الأول…"، فهي هندسية. ومتوسط التوزيع الهندسي هو $1/p$ — ليس $np$.
رمي نرد حتى أول ستة؛ $p = 1/6$.
- $P(X = 3) = (5/6)^2 (1/6) = \tfrac{25}{36}\cdot\tfrac{1}{6} \approx 0.116$ — أول ستة في الرمية $3$.
- المتوسط: يتوقع $\mu_X = 1/(1/6) = 6$ رمية حتى أول ستة.
- منطقي — يأتي الرقم ستة في المتوسط مرة كل ست رميات.
متغير عشوائي هندسي يعد التجارب حتى أول نجاح، بتجارب مستقلة باحتمالية $p$ ثابتة. حينها $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ والمتوسط هو $\mu_X = \frac{1}{p}$. الفرق الرئيسي عن الثاني: الهندسي يستمر حتى أول نجاح (تجارب متغيرة)، الثنائي له عدد $n$ ثابت.
الرمي حتى أول نجاح
استمر في الرمي حتى يظهر الهدف — هذا عد هندسي.
متغير هندسي له p = 0.2. أوجد متوسط عدد المحاولات، 1/p.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
μ = 1/p = 1/0.2 = 5.
أي موقف هو هندسي (وليس ثنائي)؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
'حتى أول نجاح' ← هندسي؛ n ثابتة ← ثنائي.
اررم النرد حتى ظهور أول ستة (p = 1/6). أوجد العدد المتوقع للرميات.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
μ = 1/p = 1/(1/6) = 6.
في صيغة الهندسية P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p، الجزء (1−p)^(k−1) يمثل k−1 فشلاً متتالياً.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
فشل k−1 مرة، ثم نجح في المحاولة k.
متوسط المتغير العشوائي الهندسي هو 1 مقسوماً على ___ (الحرف الذي يمثل احتمال النجاح).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
μ = 1/p.