معلمات التوزيع الثنائي
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| parameters/pəˈræmɪtəz/ | معلمات |
المتوسط الحسابي للتوزيع الثنائي
- للمتغير الثنائي، المتوسط له صيغة بسيطة وجميلة جداً:
-
$$\mu_X = np$$
- عدد التجارب ضرب احتمال النجاح — العدد المتوقع للنجاحات.
- رمي عملة $100$ مرات: يتوقع $\mu_X = 100 \times 0.5 = 50$ ظهور صورة.
الانحراف المعياري للتوزيع الثنائي
- الانحراف المعياري هو:
-
$$\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$$
- يقيس مدى تباين عددها للنجاحات بشكل معتاد.
- هذان المعاملان ($\mu_X$، $\sigma_X$) يلخصان التوزيع الثني بأكمله.
الشكل
- يعتمد الشكل على $p$: عند $p = 0.5$ يكون التوزيع متماثلاً.
- $p < 0.5$ → منحرف يميناً؛ $p > 0.5$ → منحرف يساراً.
- كلما كبر $n$، يصبح الشكل أكثر تماثلاً وشبه الجرس (حتى لو كان $p$ مائلاً).
- هذا الشكل شبه الطبيعي للقيم الكبيرة لـ $n$ يُقدّم الأساس للاستدلال في الوحدات اللاحقة.
التفسير في السياق
- دائماً نصي المعاملات بكلمات المشكلة الخاصة بها.
- $\mu_X$: "نتوقع حوالي $np$ نجاحات في المتوسط."
- $\sigma_X$: "عدد النجاحات يتفاوت عادة بحوالي $\sigma_X$."
- الأرقام لا قيمة لها إلا عند ربطها بالوضع الحقيقي.
الصيغ البسيطة $\mu=np$ و$\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ هي لإعداد ثنائي فقط — لا تستخدمها لمتغير عشوائي عام، وبعد التحقق من شروط BINS. وملاحظة: الانحراف المعياري يستخدم $p(1-p)$: يكون أكبر ما يمكن عند $p=0.5$ ويتناقص كلما اقترب $p$ من $0$ أو $1$ (حيث يجعل $p$ المتطرف العد أكثر قابلية للتنبؤ).
لاعب رمية حرة يسجل $p = 0.8$؛ تأخذ $n = 25$ رميات. $X =$ تسجل.
- المتوسط: يتوقع $\mu_X = 25 \times 0.8 = 20$ تسجيل.
- الانحراف المعياري: $\sigma_X = \sqrt{25 \times 0.8 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2$.
- الشكل: $p = 0.8 > 0.5$ → مائل لليسار؛ مع $n=25$ يكون شبه جرس إلى حد كبير.
بالنسبة لمتغير ثنائي الحدين، المعاملات هي $\mu_X = np$ و$\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$. الشكل متماثل عند $p=0.5$، منحرف في غير ذلك، ويصبح أكثر تشابهاً بالشكل الجرسياً كلما كبر $n$. always interpret $\mu_X$ and $\sigma_X$ in context — expected successes and their typical variation.
شكل التوزيع الثنائي
عندما لا يساوي p الـ 0.5 يكون التوزيع مائلاً؛ كلما كبر n أصبح أكثر تشابهاً بالشكل الجرسية.
توزيع ثنائي له n = 25 و p = 0.8. أوجد المتوسط np.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
μ = np = 25 × 0.8 = 20.
من أجل n = 25 و p = 0.8، أوجد الانحراف المعياري √(np(1−p)).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(25·0.8·0.2) = √4 = 2.
يكون التوزيع الثنائي متماثلاً تماماً عندما...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p = 0.5 يعطي توزيعاً متماثلاً.
مع زيادة n، يصبح التوزيع الثنائي أكثر شكل جرس (أكثر تماثلاً).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
نمط كبير يَدفع الشكل نحو الطبيعي.
الانحراف المعياري للتوزيع الثنائي √(np(1−p)) يكون الأكبر عندما...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p(1−p) تتوج عند p = 0.5.