التوزيع الثنائي
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| binomial/baɪˈnəʊmɪəl/ | ثنائي الحد |
| binomial random variable/baɪˈnəʊmɪəl ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | متغير عشوائي ثنائي الحد |
| binomial setting/baɪˈnəʊmɪəl ˈsetɪŋ/ | 18 |
| geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/ | هندسي |
عد النجاحات
- توزيع ثنائي الحد يعدد النجاحات في عدد ثابت من المحاولات.
- متغير عشوائي ثنائي الحد $X$ = عدد النجاحات في $n$ تجارب.
- مثال: عدد الرؤوس في $10$ رميات، أو الإجابات الصحيحة على $5$ أسئلة.
- إنه واحد من أكثر التوزيعات فائدة في إحصاء كل.
شروط BINS
- أربعة شروط تحدد إعداد ثنائي الحد (تذكر BINS):
- Binary — كل تجربة نجاح/فشل. Independent — التجارب لا تؤثر على بعضها البعض.
- Number — عدد ثابت من التجارب $n$. Same — ثابت الاحتمال $p$ لكل تجربة.
- يجب أن تتحقق جميع الشروط الأربعة، وإلا فهو غير ثنائي الحد.
صيغة ثنائية الحد
-
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$$
- $\binom{n}{k}$ يعدد طرق وضع $k$ نجاحات ضمن $n$ تجارب.
- $p^k$ هو احتمال تلك $k$ النجاحات؛ $(1-p)^{n-k}$ هي $n-k$ الفشل.
- اضرب عدد الترتيبات في احتمال كل منها.
ثنائي الحد مقابل الهندسي
- ثنائي الحد: $n$ ثابت؛ تعد كم النجاحات.
- هندسي: تستمر حتى أول نجاح؛ تعد كم التجارب استغرقت.
- عدد ثابت من التجارب → ثنائي الحد؛ "حتى أول نجاح" → هندسي.
- تحديد الإعداد الذي أمامك هو الخطوة الأولى في أي مسألة.
تحقق من جميع شروط BINS الأربعة قبل استخدام الصيغة — خاصة الاستقلال وثبات $p$. سحب البطاقات بدون إرجاع يكسر كلا الشرطين (يغير $p$، التجارب معتمدة)، لذا فهو ليس توزيعاً ثنائياً. ولا تخلط بينه وبين التوزيع الهندسي: التوزيع الثنائي له عدد $n$ ثابت؛ بينما يعمل التوزيع الهندسي حتى أول نجاح.
اختبار اختيار من متعدد: $5$ أسئلة، تخمين عشوائي، $p = 0.25$ صحيحة في كل مرة. $X =$ عدد الإجابات الصحيحة.
- هل هو BINS؟ ثنائي (صحيح/خطأ)، مستقل، عدد $n=5$ ثابت، نفس $p=0.25$. ✓ توزيع ثنائي.
- $P(X = 2) = \binom{5}{2}(0.25)^2(0.75)^3 = 10 \times 0.0625 \times 0.4219 \approx 0.264$.
- إذن احتمال $26\%$ أن تكون $2$ صحيحة تماماً.
متغير عشوائي ثنائي يعدد النجاحات في عدد $n$ ثابت من التجارب، ويكون صالحاً عندما تتحقق شروط BINS (Binary ثنائي، Independent مستقل، عدد N ثابت، Same $p$ متساوٍ). حينها $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$. إعداد ثنائي له عدد $n$ ثابت؛ إعداد هندسي يستمر حتى أول نجاح.
توزيع ثنائي
تعطي الأعمدة P(X=k) للنجاحات في n محاولة.
أي مما يلي ليس أحد شروط البينوميل (BINS) الأربعة؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
BINS = ثنائي، مستقل، عدد ثابت، نفس p. لا يلزم أخذ عينات عشوائية.
رسم البطاقات بدون إرجاع ليس ثنائياً بشكل رئيسي لأن...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الإرجاع يكسر ثبات p والاستقلالية.
كم عدد الطرق التي يمكن أن تحدث بها 2 نجاحات في 5 تجربة؟ احسب C(5,2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
C(5,2) = 10.
الإعداد الهندسي يعدّ المحاولات حتى أول نجاح، على عكس الثنائي ذي n الثابت.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n ثابتة ← ثنائي؛ حتى أول نجاح ← هندسي.
الكلمة المفتاحية لشروط الثني الأربعة هي ___ (أربع أحرف).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ثنائية، مستقلة، عدد ثابت، نفس p.