دمج المتغيرات العشوائية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | التحويل الخطي |
القياس والتحويل
- التحويل الخطي $aX + b$ يقوم بالقياس بـ $a$ والإزاحة بـ $b$.
- المتوسط: $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — كلاهما (القياس والإزاحة) ينتقلان عبر العملية.
- الـ SD: $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — القياس يتمدد في الانتشار؛ الإزاحة لا تفعل ذلك.
- إضافة ثابت تحرك المركز تاركة الانتشار دون تغيير.
متوسطات المجموع والفرق
- المتوسطات دائماً تُجمع (أو تُطرح)، دون شروط:
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- القيم المتوقعة تجمع خطياً، سواء كانت المتغيرات مستقلة أم لا.
- هذه هي النصف السهل الدائم الحقيقة للقواعد.
الـ SD للمجموع والفرق
- تُجمع التباينات للمتغيرات المستقلة — حتى للفرق:
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- ثم $\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.
- انتبه إلى $+$: أنت تجمع التباينات حتى عندما تطرح المتغيرات.
دمج الطبيعيين المستقلين
- مجموع أو فرق متغيرات عشوائية طبيعية مستقلة هو أيضاً طبيعي.
- متوسطه وSD يأتيان من القواعد أعلاه ($\mu$'s جمع/طرح؛ التباينات تُجمع).
- لذا يمكنك إيجاد احتمالات للمتغير المدمج باستخدام النموذج الطبيعي.
- هذا يجعل العديد من الأسئلة ذات المتغيرين قابلة للحل في خطوة واحدة نظيفة.
فخّان. (1) عندما تطرح المتغيرات، لا تزال تجمع تبايناتها ($\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — لا تطرح التباينات أبداً. (2) لا تجمع الانحرافات المعيارية مباشرة ($\sigma_X+\sigma_Y$ خطأ)؛ اجمع التباينات، ثم خذ الجذر التربيعي. كلا القاعدتين تتطلب أن تكون المتغيرات مستقلة.
$X$ (متوسط $10$، SD $3$) و$Y$ (متوسط $4$، SD $4$) هما مستقلان.
- متوسط $X-Y$: $10 - 4 = 6$.
- التباين: $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ (اجمع، حتى للفرق).
- SD لـ $X-Y$: $\sqrt{25} = 5$.
تحويل خطي: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ لكن $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$ (الإزاحات لا تؤثر على الانتشار). تجمع/تطرح المتوسطات دائماً؛ للمتغيرات المستقلة تُجمع التباينات ($\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — حتى للفرق. مجموعة طبيعية مستقلة هي طبيعية.
متغير طبيعي مركب
مجموع/فرق المتغيرات الطبيعية المستقلة هو نفسه طبيعي.
X له وسط 10، Y له وسط 4. أوجد وسط X − Y.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الأوسط تطرح: 10 − 4 = 6.
X له انحراف معياري 3، Y له انحراف معياري 4، مستقلان. أوجد انحراف X − Y المعياري.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
التباينات تُضاف: 9 + 16 = 25، لذا SD = 25 = 5.
عند طرح متغيرين عشوائيين مستقلين، تطرح تبايناتهم.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
التباينات تُضاف حتى للفرق — لا تطرحها أبداً.
بالنسبة للتحويل 2X + 5، يصبح الانحراف المعياري...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
SD يتغير بمقدار |a| لكن الإزاحة +5 لا تؤثر على الانتشار.
لدمج الانحرافات المعيارية للمتغيرات المستقلة، يجب إضافة الـ SDs مباشرة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
أضف التباينات، ثم جذرها التربيعي — لا الـ SDs.