الوسط الحسابي والانحراف المعياري للمتغيرات العشوائية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/ | القيمة المتوقعة |
| variance/ˈveərɪəns/ | التباين |
المتوسط طويل الأمد
- المتوسط (أو القيمة المتوقعة) للمتغير العشوائي هو متوسط نتائجه طويل الأمد.
- $\mu_X$ أو $E(X)$ — نقطة توازن التوزيع.
- هو متوسط مرجح: كل قيمة موزونة باحتمالها.
- مع تكرار كثير، يقترب المتوسط من $\mu_X$.
حساب المتوسط
-
$$\mu_X = \sum x_i \, P(x_i)$$
- اضرب كل قيمة في احتمالها، ثم اجمع النتائج.
- لا يشترط أن يكون المتوسط قيمة ممكنة (مثل "عائلة من $2.5$ أطفال").
- إنه متوسط، وليس تنبؤاً بأي تجربة فردية.
التباين والانحراف المعياري
- التباين $\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 \, P(x_i)$ — متوسط المسافة المربعة المرجح بالاحتمال عن المتوسط.
- الانحراف المعياري $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ يُعيد القياس إلى الوحدات الأصلية.
- كلما كان $\sigma_X$ أكبر = كانت النتائج أكثر انتشاراً حول المتوسط.
- اسقِ الانحرافات، ووزنها بالاحتمال، واجمع، ثم خذ الجذر التربيعي.
تفسير الانحراف المعياري
- $\sigma_X$ هو المسافة النموذجية للنتيجة عن المتوسط $\mu_X$.
- $\sigma_X$ صغير: تتجمع النتائج بإحكام حول القيمة المتوقعة.
- $\sigma_X$ كبير: تتذبذب النتائج بشكل واسع بين التجارب.
- معاً، $\mu_X$ (المركز) و$\sigma_X$ (الانتشار) يلخصان التوزيع بأكمله.
القيمة المتوقعة هي متوسط طويل الأمد، وليست نتيجة مضمونة أو حتى ممكنة. $E(X)=2.5$ أطفال تعني المتوسط عبر عائلات عديدة، ليس أن أي عائلة لديها $2.5$ أطفال. احسب الـ SD من التباين: اسقِ الانحرافات أولاً، وزنها، اجمع، ثم خذ الجذر التربيعي — لا تقم بمتوسط المسافات الخام.
لعبة: فز بـ $5$ دولار باحتمال $0.2$، وإلا فز بـ $0$. ليكن $X$ هو الأرباح.
- المتوسط: $\mu_X = 5(0.2) + 0(0.8) = 1$ دولار — متوسط الدفع على المدى الطويل.
- التباين: $(5-1)^2(0.2) + (0-1)^2(0.8) = 3.2 + 0.8 = 4$.
- الـ SD: $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ دولار — المسافة النموذجية عن متوسط $1$.
المتوسط (القيمة المتوقعة) $\mu_X = \sum x_i P(x_i)$ هو المتوسط طويل الأمد — وهو متوسط مرجح بالاحتمال قد لا يكون قيمة ممكنة. التباين $\sigma_X^2 = \sum (x_i-\mu_X)^2 P(x_i)$ والانحراف المعياري $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ يقيسان المسافة النموذجية للنتيجة عن $\mu_X$.
وزن القيم باحتمالها
الوسط الحسابي هو نقطة توازن هذا التوزيع الموزون.
X يفوز بـ 5 باحتمال 0.2، وإلا 0. أوجد الوسط E(X) = 5(0.2)+0(0.8).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5(0.2) + 0(0.8) = 1.
مع وسط 1: التباين = (5−1)²(0.2)+(0−1)²(0.8). ثم أوجد الانحراف المعياري.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
التباين = 3.2 + 0.8 = 4، لذا SD = √4 = 2.
يجب أن تكون القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي إحدى قيمه الممكنة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
إنها متوسط طويل الأمد — مثل 2.5 أطفال — ولا يشترط أن تكون قابلة للتحقيق.
يقاس الانحراف المعياري للمتغير العشوائي بـ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
SD = الانتشار النموذجي حول الوسط.
يسمى الوسط الحسابي للمتغير العشوائي أيضاً ___ قيمة (كلمة واحدة).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الوسط = القيمة المتوقعة = المتوسط طويل الأمد.