المتغيرات العشوائية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | متغير عشوائي |
| probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | توزيع احتمالي |
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | متغير عشوائي متقطع |
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | متغير عشوائي متصل |
رقم يعتمد على الحظ
- المتغير العشوائي يخصص رقمًا لكل نتيجة لعملية حظ.
- مثال: $X =$ عدد الرؤوس في $3$ رميات عملة.
- قيمته تحدد بالصدفة، لذا فهو يمتلك توزيعًا احتماليًا.
- المتغيرات العشوائية تتيح لنا إجراء عمليات حسابية مع الحظ.
منفصل مقابل مستمر
- المتغير العشوائي المتقطع يأخذ قيمًا عددية منفصلة ($0, 1, 2, \dots$).
- المتغير العشوائي المستمر يمكن أن يأخذ أي قيمة في مجال (الأطوال، الأوقات).
- عد → متقطع؛ قياس على مقياس → مستمر.
- تركز هذه الوحدة على التوزيعات المتقطعة (جدول للقيم والاحتمالات).
التوزيع الاحتمالي
- التوزيع الاحتمالي يعدد كل قيمة $x$ باحتمالها $P(x)$.
- قاعدتان تجعلانانه صالحًا: كل $0 \le P(x) \le 1$، وجميع $P(x)$ مجموعها $1$.
- يمكن عرضه كجدول أو رسم بياني شريطي.
- التوزيع هو الوصف الكامل للمتغير العشوائي.
احتمالات الأحداث
- لإيجاد $P(X \ge 2)$ أو $P(X = 1)$، فقط اجمع قيم $P(x)$ ذات الصلة.
- "$X$ على الأقل $2$" = $P(2) + P(3) + \cdots$.
- "$X$ بين" = اجمع الاحتمالات في ذلك النطاق.
- كل احتمال حدث هو مجموع القطع المدرجة.
يجب أن يحتوي التوزيع الاحتمالي على جميع $P(x)$ في $[0,1]$ مجموعتها تمامًا $1$ — إذا لم تكن احتمالات الجدول تساوي $1$، فهو غير صالح. واحفظ التمييز بين المتقطع والمستمر: أنت تعدّ متغيرًا متقطعًا (عدد الرؤوس) لكنك تقيس واحدًا مستمرًا (طول شخص دقيق) — الأدوات مختلفة.
$X =$ رؤوس في $2$ رميات عادلة. التوزيع: $P(0)=0.25,\ P(1)=0.5,\ P(2)=0.25$.
- صالح؟ الكل في $[0,1]$ و$0.25+0.5+0.25 = 1$. ✓
- $P(X \ge 1) = P(1) + P(2) = 0.5 + 0.25 = 0.75$.
- $P(X = 2) = 0.25$ — رأسان بالضبط.
المتغير العشوائي يخصص رقماً لكل نتيجة. المتغير المتقطع يأخذ قيماً عددية؛ المتغير المستمر يأخذ أي قيمة في مجال. توزيعه الاحتمالي يعد $P(x)$ مع كل في $[0,1]$ مجموعها $1$؛ احتمالات الأحداث مثل $P(X\ge 2)$ هي مجاميع لـ $P(x)$ ذات الصلة.
توزيع احتمالي متقطع
كل عمود يمثل P(x)؛ مجموع الأعمدة يساوي 1.
عدد الرؤوس في 3 رميات للعملة هو أي نوع من المتغيرات العشوائية؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يتخذ قيماً منفصلة قابلة للعد (0,1,2,3) — متقطع.
في التوزيع الاحتمالي الصالح، يجب أن يكون مجموع الاحتمالات مساوياً لـ 1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
جميع P(x) في [0,1] ومجموعها يساوي بالضبط 1.
X = ظهور صورة في 2 رميات: P(0)=0.25، P(1)=0.5، P(2)=0.25. أوجد P(X ≥ 1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
P(1)+P(2) = 0.5 + 0.25 = 0.75.
طول شخص معين هو أي نوع من المتغيرات؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الطول يُقاس على مقياس — متصل.
قاعدة تعين رقماً لكل نتيجة لعملية عشوائية تسمى ___ متغير.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
هذا هو تعريف المتغير العشوائي.