أحداث مستقلة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | أحداث مستقلة |
عندما يخبرك معرفة واحد بشيء لا شيء
- الحدثان مستقلان إذا كان وقوع أحدهما لا يغير احتمال الآخر.
- رسميًا: $P(A \mid B) = P(A)$ — الشرط لا فرق له.
- رمي العملات مستقلة: النتيجة الأولى لا تخبرك شيئًا عن الثانية.
- إذا كانت معرفة $B$ تغير $P(A)$، فإن الأحداث مت تابعة.
اختصار الضرب
- للأحداث المستقلة، تتبسط قاعدة الضرب:
-
$$P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$$
- بما أن $P(A \mid B) = P(A)$، يسقط الشرط — فقط اضرب.
- هذا "و = ضرب" صالح فقط عندما تكون الأحداث مستقلة.
مستقل ≠ متبادل الاستبعاد
- هذان المفهومان متعاكسان، ليسا مرادفين — خطأ شائع.
- متبادل للاستبعاد: لا يمكن أن يحدثا معًا ($P(A \cap B) = 0$).
- مستقلان: يمكن أن يحدثا معًا، وأحدهما لا يؤثر على الآخر.
- في الواقع، الحدثان اللذان لهما احتمال غير صفر ومتنافيان هما دائمًا متابعان.
دمج القواعد
- المسائل المركبة تربط قواعد الجمع والضرب.
- "على الأقل واحد" غالبًا أسهل عبر المكملة: $1 - P(\text{none})$.
- $P(\text{none}) = P(\text{not }A)\,P(\text{not }B)\cdots$ للأحداث المستقلة.
- قم بتقسيم الحدث إلى "و" (اضرب) و"أو" (اجمع)، خطوة بخطوة.
المستقل والمتبادل للاستبعاد ليسا نفس الشيء — بل متعاكسان. الأحداث المتنافعة لا يمكن أن تحدث معًا، لذا فإن معرفة وقوع واحد يخبرك بأن الآخر لم يحدث — ذلك هو أقصى درجة من التبعية. استخدم $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ فقط بعد أن تأكدت من الاستقلال؛ لا تفترضها لمجرد أن يعطيك المسألة $P(A)$ و $P(B)$.
ارمِ عملة عادلة مرتين (رميات مستقلة).
- $P(\text{two heads}) = P(H)\,P(H) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$.
- $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no heads}) = 1 - 0.5 \times 0.5 = 0.75$.
- المكملة تحول "أو" فوضوي إلى "و" نظيف.
الأحداث مستقلة عندما $P(A \mid B) = P(A)$؛ حينئذٍ $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ (اضرب). هذا ليس نفس متبادل الاستبعاد (والذي يعني $P(A\cap B)=0$) — بل هما متعاكسان. ادمج قاعدتي الجمع والضرب للأحداث المركبة، وغالبًا باستخدام المكملة لـ "على الأقل واحد".
الأحداث المستقلة تتفرع الفرع بالفرع
للأحداث المستقلة، اضرب على طول الفروع.
حدثان مستقلان لهما P(A)=0.5 و P(B)=0.5. أوجد P(A و B).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
مستقل → اضرب: 0.5 × 0.5 = 0.25.
الأحداث المستقلة والأحداث المتباعدة هما نفس الشيء.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
它们是对立的： متباعدة events actually dependent.
ارمي عملة معدنية عادلة مرتين. أوجد P(رأس واحد على الأقل).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1 − P(لا رؤوس) = 1 − 0.5×0.5 = 0.75.
استقلال A و B يعني...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الاستقلال: الشرط لا يغير احتمال A.
بالنسبة لـ 'واحد على الأقل'، غالباً ما يكون من الأسهل استخدام ___ قاعدة (1 ناقص P(لا شيء)).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء).