الاحتمال الشرطي
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | احتمال شرطي |
| multiplication rule/ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃn ruːl/ | قاعدة الضرب |
الاحتمال الشرطي
- الاحتمال الشرطي هوChance of $A$ بشرط أن $B$ قد حدث.
- يُكتب $P(A \mid B)$ — "احتمال $A$ بشرط $B$".
- معرفة حدوث $B$ تُضيّق العالم ليكون فقط نتائج $B$.
- ثم تسأل ما هي نسبة هذه النتائج التي هي أيضًا $A$.
الصيغة
-
$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
- البسط هو "يحدثان معًا"؛ والمقام هو "الشرط".
- تقوم بإعادة مقياس: من عالم $B$، كم هو $A$؟
- الشرط $B$ يصبح هو "المجموع الكلي" الجديد.
من جدول ثنائي الأبعاد
- جداول ثنائية الأبعاد تجعل الاحتمالات الشرطية سهلة: اقتصار على صف أو عمود الشرط.
- $P(A \mid B)$ = (خلية كلاهما) ÷ (مجموع صف/عمود $B$).
- هذا هو بالضبط التواتر النسبي الشرطي من الوحدة 2.
- المقام هو هامش، وليس المجموع الكلي.
قاعدة الضرب العامة
- إعادة ترتيب المعادلة تعطي قاعدة الضرب:
-
$$P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$$
- "يحدث كلاهما" = (يحدث الأول) × (يحدث الثاني بشرط الأول).
- هذه هي الطريقة التي تربط بها احتمالات أحداث تعتمد على بعضها البعض.
$P(A \mid B)$ و $P(B \mid A)$ عادة ما يكونان مختلفين — لا تقم بتبديلهما. "احتمال السعال بشرط الإنفلونزا" مرتفع؛ "احتمال الإنفلونزا بشرط السعال" منخفض (معظم حالات السعال ليست إنفلونزا). الشرط — وهو ما يُعطاى — يقع بعد الشريط ويصبح المقام. اقرأ بعناية أي حدث هو الشرط.
في فصل دراسي، $P(\text{plays sport}) = 0.5$ و $P(\text{sport and music}) = 0.2$.
- $P(\text{music} \mid \text{sport}) = \dfrac{0.2}{0.5} = 0.4$.
- بين النصف الرياضي، $40\%$ يمارسون الموسيقى أيضًا.
- تحقق من الضرب: $P(\text{sport and music}) = 0.5 \times 0.4 = 0.2$. ✓
الاحتمال الشرطي $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ هو احتمال $A$ بشرط $B$ — اقتصرت على صف/عمود $B$ في جدول ثنائي الأبعاد. بإعادة الترتيب، becomes قاعدة الضرب $P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$. تذكر $P(A\mid B) \ne P(B \mid A)$ بشكل عام.
الاحتمالات الشرطية
كيف يتغير احتمال B اعتماداً على ما إذا كان A قد حدث أم لا.
P(A و B) = 0.2 و P(B) = 0.5. أوجد P(A | B).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4.
بشكل عام، P(A | B) لا يساوي P(B | A).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
غالباً ما يكونا مختلفين — الشرط مهم.
القاعدة العامة للضرب لـ P(A و B) هي...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
P(A∩B) = P(B)·P(A|B)، بربط الحدثين معاً.
لقراءة P(A | B) من جدول ثنائي الأبعاد، قسّم على...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يشكل الشرط B المقام — إجمالي هامشيته.
يُقرأ P(A | B) 'احتمال A ___ B' (كلمة واحدة).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الخط يعني 'معطى' الشرط.