إيجاد المساحة بين المنحنيات المعبر عنها بدوال y
| English | العربية |
|---|---|
| horizontal slice/ˌhɒrɪˈzɒntl slaɪs/ | شريحة أفقية |
قطّع أفقياً بدلاً من عمودياً
- بعض المناطق صعبة الشرائح الرأسية — مثل قطع مكافئ يفتح أفقياً مثلاً.
- الحل: قطّع إلى شرائح أفقية وتكامل بالنسبة لـ $y$ بدلاً من $x$.
- كل شيء من الدرس الأخير يدور 90 درجة: المنحنيات تصبح دوال لـ $y$، وتطرح اليمين ناقص اليسار.
- نفس الفكرة بزاوية: اجمع عرض الفوارق الأفقية.
اليمين ناقص اليسار
- اكتب الحدود كدوال لـ $y$: $x=f(y)$ (الأقصى يميناً) و$x=g(y)$ (الأقصى يساراً).
-
$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- كل شريحة أفقية لها عرض $f(y)-g(y)$ وارتفاع $dy$.
- اطرح الأقصى يميناً ناقص الأقصى يساراً ليبقى العرض موجباً.
قطع مكافئ يفتح أفقياً
y = ax² + bx + c
عندما تفتح المنحنيات أفقياً، تكون الشرائح الأفقية (اليمين ناقص اليسار، مدمجة بالنسبة لـ $y$) الخيار الأنقى.
مع الشرائح الأفقية، المساحة هي $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$ حيث...
شرائح أفقية: المنحنى الأيمن ناقص المنحنى الأيسر.
الحدود هي قيم $y$ الآن
- حدود التكامل $c$ و$d$ هي أدنى وأعلى $y$ للمنطقة — غالباً قيم تقاطع $y$ للمنحنيين.
- حل $f(y)=g(y)$ (بالنسبة لـ $y$) لتحديد هذه الحدود.
- بينهما، اختبر أي المنحنيين أبعد يميناً.
- ثم ادمج عرض اليمين ناقص اليسار من $c$ إلى $d$.
بالنسبة لتكامل $dy$، حدود التكامل هي...
التكامل بالنسبة لـ $y$ يعني حدود $y$.
أين يتقاطع $x=y^2$ و$x=y+2$ (في $y$)؟
$y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
متى تختار $dy$ على $dx$
- فضّل الشرائح الأفقية عندما تكون المنحنيات بطبيعتها $x=$(دالة لـ $y$)، أو عندما تتطلب الشرائح الرأسية التقسيم.
- منطقة محصورة يميناً ويساراً بمنحنيين مختلفين (لكن أعلى وأسفل بنقاط مفردة) هي حالة $dy$.
- إذا كان المنحنى "الأعلى" سيتغير في المنتصف مع الشرائح الرأسية، فقد تتجنب الشرائح الأفقية التقسيم.
- اختر أي اتجاه يجعل كل شريحة تمتد من منحنى نقي إلى منحنى نقي.
المساحة المحصورة بين $x=y^2$ و$x=y+2$ هي $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. احسبها (رقم عشري).
يتساوى مع $\tfrac92=4.5$.
بالنسبة لتكامل الشريحة الأفقية، يجب كتابة كل حد كـ $x$ بدلالة $y$.
الشرائح تمتد أفقياً، لذا عبّر عن $x$ بدالة لـ $y$.
الشرائح الأفقية أفضل عندما...
المنحنيات الأفقية تناسب تكامل $dy$.
مع الشرائح الأفقية، ندمج اليمين ناقص اليسار بدلالة $y$، والحدود هي قيم $y$ (ليست قيم $x$). خلطهم — استخدام حدود $x$ مع تكامل $dy$، أو طرح الأعلى ناقص الأسفل جانبياً — يعطي إجابة خاطئة. أعد كتابة كل منحنى حدود كـ $x$ بدلالة $y$ أولاً.
أوجد المساحة المحصورة بين $x=y^2$ و$x=y+2$.
- نقاط التقاطع (بدلالة $y$): $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
- على $(-1,2)$، الخط $x=y+2$ أبعد يميناً (اختبر $y=0$: $2>0$).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
للمنحنيات المعطاة كدوال لـ $y$، استخدم الشرائح الأفقية: $A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$، تكامل الأقصى يميناً ناقص الأقصى يساراً مع حدود $y$ من نقاط التقاطع. اختر $dy$ عندما يسمح لكل شريحة بالمرور بنقاء من منحنى إلى آخر دون تقسيم.