إيجاد المساحة بين المنحنيات التي تتقاطع في أكثر من نقطتين
| English | العربية |
|---|---|
| subintervals/ˌsʌbɪnˈtɜːvlz/ | فترات جزئية |
عندما تستمر المنحنيات في التقاطع
- أحياناً يتقاطع منحنيان أكثر من مرتين، ويتبادل المنحنى "الأعلى" أثناء الطريق.
- تكامل أعلى ناقص أسفل واحد سيُعطيك الإشارة الخاطئة لجزء من المنطقة.
- الحل: قسّم المنطقة عند كل نقطة تقاطع وتكامل كل قطعة على حدة.
- اجمع مساحات القطع (الموجبة) للحصول على الإجمالي.
أوجد كل نقطة تقاطع أولاً
- حل $f(x)=g(x)$ بالكامل — أجد كل نقاط التقاطع على الفترة، لا فقط الخارجيتين.
- هذه التقاطعات هي حدود الفترات الجزئية حيث يكون الترتيب ثابتاً.
- رتبها من اليسار إلى اليمين على محور $x$.
- كل زوج متجاور من نقاط التقاطع يُحدد قطعة واحدة من المنطقة.
دالة تكعبية تتقاطع مع خط 3 مرات
y = ax³ + bx
$y=x^3$ و$y=x$ يتقاطعان عند $-1,0,1$؛ المنحنى العلوي يتحول عند $0$، لذا تحتاج المساحة إلى جزأين.
أين يتقاطع $y=x^3$ و$y=x$؟
$x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$.
نقاط التقاطع تقسم المنطقة إلى ____ حيث الترتيب ثابت.
على كل فترة جزئية يكون منحنى واحد في الأعلى باستمرار.
قسّم حيث يتبادل الأعلى والأسفل
- على كل فترة جزئية، يكون أحد المنحنيين consistently في الأعلى — اختبر نقطة لترى أيهما.
- ضع تكاملاً منفصلاً لـ (أعلى $-$ أسفل) لكل فترة جزئية، باستخدام المنحنى الأعلى الصحيح هناك.
- لأن المنحنى الأعلى يتبادل بين القطع، تختلف الدوال المُتكاملة من قطعة لأخرى.
- المساحة الكاملة هي مجموع هذه التكاملات المنفصلة.
نقسم المنطقة عند كل نقطة تقاطع لأن...
حيث تتبادل المنحنيات، ستُحسب جزء من المنطقة كمساحة سالبة.
استخدام تكامل واحد لـ $f-g$ عبر جميع نقاط التقاطع (تبادل المنحنيات) يعطي...
إلغاء الإشارة يقلل من المساحة الحقيقية.
اجمع المساحات المطلقة
- كل تكامل لفترة جزئية، مُنفذ مع الأعلى ناقص الأسفل الصحيح، يكون موجباً.
- اجمعهم: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- يكافئ ذلك، $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — الفارق المطلق، مُتكامل.
- كلا المنظورين يعطيان نفس المساحة الهندسية الكلية.
لـ $y=x^3$ و$y=x$ على $[-1,1]$، كل جزء له مساحة $\tfrac14$. أوجد المساحة الكلية.
$\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
تكامل $|f(x)-g(x)|$ على الفترة الكاملة يعطي نفس المساحة الكلية مثل التقسيم.
القيمة المطلقة تتعامل مع التحول تلقائياً.
لا تستخدم تكاملاً واحداً لـ $f-g$ عبر جميع نقاط التقاطع — حيث يتبادل المنحنيان، ستساهم جزء من المنطقة بقيمة سالبة تلغي مساحة حقيقية. يجب عليك التقسيم عند كل تقاطع وطرح الأعلى ناقص الأسفل بشكل صحيح على كل قطعة (أو تكامل $|f-g|$). أجد كل نقاط التقاطع، لا فقط الأطراف.
المساحة بين $y=x^3$ و$y=x$ على $[-1,1]$.
- نقاط التقاطع: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — ثلاثة نقاط.
- على $(-1,0)$: $x^3>x$ (اختبر $-0.5$). على $(0,1)$: $x>x^3$ (اختبر $0.5$). يتبادل المنحنى الأعلى عند $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
عندما تتقاطع المنحنيات أكثر من مرتين، أجد كل نقاط التقاطع، قسّم المنطقة إلى فترات جزئية، وتكامل الأعلى ناقص الأسفل على كل منها (المنحنى الأعلى يتبادل بينها). اجمع القطع — أو يكافئ ذلك، تكامل $|f(x)-g(x)|$. تكامل مستقيم واحد لـ $f-g$ سيُلغي المساحة خطأً.