إيجاد القيمة المتوسطة لدالة على فترة
| English | العربية |
|---|---|
| average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/ | القيمة المتوسطة |
الارتفاع المتوسط للمنحنى
- يمكنك حساب متوسط قائمة من الأرقام — لكن كيف تحسب متوسط دالة، التي تحتوي على قيم لا نهائية؟
- التكامل يفعل ذلك: القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي تراكمها الكلي مقسوماً على العرض.
- تخيل إعادة تشكيل المساحة تحت المنحنى إلى مستطيل بنفس العرض — ارتفاعه هو المتوسط.
- إنه نسخة التفاضل والتكامل من "اجمعهم واقسم على عددهم."
الصيغة
- القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي
-
$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
- احسب التكامل المحدد (الكلي)، ثم اقسم على طول الفترة $b-a$.
- الوحدات: نفس وحدات $f$ نفسها (إنها متوسط ارتفاع، وليس مساحة).
المستطيل مساوي المساحة
y = x²
القيمة المتوسطة هي الارتفاع الثابت لمستطيله يحيط بنفس مساحة المنحنى فوق $[a,b]$.
القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي...
المجموع مقسومًا على العرض.
للقيمة المتوسطة نفس ____ لدالة $f$، وليس وحدات المساحة.
إنها متوسط ارتفاع، وليست مساحة.
إنه ارتفاع "التسوية"
- القيمة المتوسطة هي الارتفاع الثابت الذي يعطي نفس المساحة فوق $[a,b]$.
- $\displaystyle\int_a^b f_{\text{avg}}\,dx = f_{\text{avg}}(b-a)=\int_a^b f\,dx$ — المستطيل والمنطقة متطابقان.
- لذا $f_{\text{avg}}$ هو المكان الذي ستقوم فيه بـ "تسوية" المنحنى للحفاظ على نفس المجموع التراكمي.
- (يضمن نظرية القيمة المتوسطة للتكامل أن $f$ تلمس هذا المتوسط فعلياً في مكان ما إذا كانت $f$ متصلة.)
أوجد القيمة المتوسطة لـ $f(x)=x^2$ على $[0,3]$. ($\int_0^3 x^2\,dx=9$.)
$\tfrac{1}{3}\cdot 9=3$.
هندسيًا، القيمة المتوسطة هي ارتفاع مستطيل (عرض $b-a$) له نفس...
ارتفاع مستطيل مساوي المساحة هو القيمة المتوسطة.
المتوسطات في السياق
- متوسط السرعة على $[a,b]$ = $\frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt$ = الإزاحة ÷ الزمن.
- متوسط درجة الحرارة، متوسط المعدل، متوسط التركيز — جميعها نفس الوصفة.
- اقرأ الوحدات للتفسير: متوسط المعدل يبقى معدلاً.
- يجيب عن سؤال "ما القيمة الواحدة المستمرة التي ستنتج نفس المجموع؟"
التكامل المحدد $\int_a^b f\,dx$ بمفرده هو القيمة المتوسطة لـ $f$.
هذا هو المجموع؛ اقسم على $b-a$ للحصول على المتوسط.
إزاحة سيارة خلال $[0,2]$ ساعة هي $\int_0^2 v\,dt=120$ كم. أوجد سرعتها المتوسطة (كم/ساعة).
$\tfrac{120}{2}=60$ كم/س.
القيمة المتوسطة تقسم على $b-a$ — لا تخلط بينها وبين التكامل المحدد وحده (ذلك هو الكلي، مساحة). $\int_a^b f\,dx$ هي كمية متراكمة؛ $\frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$ هي متوسط الارتفاع. نسيان $\frac{1}{b-a}$ هو الخطأ الكلاسيكي.
أوجد القيمة المتوسطة لـ $f(x)=x^2$ على $[0,3]$.
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=9$.
- قسّم على العرض: $f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{3-0}\cdot 9 = 3$.
- لذا فإن ارتفاعاً ثابتاً قدره $3$ سيحيط بنفس المساحة فوق $[0,3]$.
القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي $f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ — المجموع (وهو تكامل محدد) مقسوماً على عرض الفترة. إنه الارتفاع الثابت الذي يحيط بنفس المساحة، مع نفس وحدات $f$. لا تحذف أبداً $\frac{1}{b-a}$.