ربط الموقع والسرعة والتسارع للدوال باستخدام التكامل
| English | العربية |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | الموقع |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | إزاحة |
الحركة، الآن عبر التكاملات
- الوحدة 4 ذهبت الموضع ← السرعة ← التسارع عن طريق الاشتقاق. التكامل يذهب للخلف.
- تكامل التسارع لاستعادة السرعة؛ تكامل السرعة لاستعادة الموضع.
- كل خطوة تجمع المعدل للحصول على الكمية التي تتغير.
- لذا تعيد التكاملات بناء قصة الحركة من المعدلات.
لاستعادة الموقع من السرعة يجب عليك...
الموقع $=$ هو الموقع الابتدائي $+\int v\,dt$.
الصعود في السلسلة
- السرعة من التسارع: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- الموضع من السرعة: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- كل منها يحتاج إلى قيمة ابتدائية (ثابت التكامل في زي الخفاء).
- تكامل المعدل، ثم أضف أين بدأت.
استعادة الموقع من السرعة تتطلب قيمة ____ لتثبيت الثابت.
الموقع $=$ هو الموقع الابتدائي $+\int v\,dt$.
الإزاحة مقابل المسافة
- الإزاحة عبر $[a,b]$ هي التكامل المُsignt للسرعة: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — التغير الصافي في الموقع.
- إجمالي المسافة هو تكامل السرعة $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — لا يطرح شيئاً أبداً.
- إذا عكست الجسم اتجاهه، تختلف الإزاحة والمسافة.
- الإزاحة يمكن أن تكون صفراً بعد حركة حقيقية؛ المسافة لا يمكن (إلا إذا لم تتحرك أصلاً).
المساحة الموقعة تحت منحنى السرعة
y = t − 2 (السرعة)
المساحة الموقعة تحت $v(t)$ تمثل الإزاحة؛ وأخذ القيمة المطلقة لكل جزء (مع التقسيم عند $v=0$) يعطي المسافة.
لـ $v(t)=t-2$ على $[0,3]$، أوجد الإزاحة $\int_0^3 (t-2)\,dt$.
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
يمكن أن تكون الإزاحة صفراً حتى عندما يتحرك الجسم فعلياً.
الحركة ذهاباً وإياباً تعطي إزاحة صافية صفرية ولكن مسافة موجبة.
المسافة تعني التقسيم عند المنعطفات
- للحصول على المسافة الكلية، حدد حيث $v=0$ (نقاط الانعطاف) وأكامل $|v|$ جزءاً تلو الآخر.
- على كل جزء $v$ يحافظ على إحداه، لذا $|v|$ هو ببساطة $\pm v$ هناك.
- اجمع مساحات الأجزاء — بدون إلغاء.
- هذه الخطوة "التقسيم عند $v=0$" هي بالضبط ما يجعل المسافة $\neq$ مختلفة عن الإزاحة.
لـ $v(t)=t-2$ على $[0,3]$، المسافة الكلية هي $\int_0^3 |t-2|\,dt$. احسبها.
قسّم عند $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$.
المسافة الكلية المقطوعة عبر $[a,b]$ هي...
أكمل تكامل السرعة $|v|$؛ تقسيم النقاط العكسية مطلوب.
الإزاحة ($\int v\,dt$) ذات إشارة ويمكن أن تكون صفراً حتى بعد الحركة؛ المسافة الكلية ($\int|v|\,dt$) لا تكون سالبة أبداً. للحصول على المسافة، قسّم الفترة حيث $v=0$ وجمع القيم المطلقة — لا تكامل $v$ فقط وأخذ القيمة المطلقة في النهاية. واستعادة الموضع/السرعة تحتاج إلى القيمة الابتدائية.
جسيم له $v(t)=t-2$ (م/ث) على $[0,3]$. أوجد الإزاحة والمسافة الكلية.
- الإزاحة: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ م.
- $v=0$ عند $t=2$: سالب على $[0,2)$، موجب على $(2,3]$.
- المسافة: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ م.
التكاملات تُعيد بناء الحركة: السرعة $=$ ابتدائي $+\int a\,dt$، الموضع $=$ ابتدائي $+\int v\,dt$. الإزاحة على $[a,b]$ هي $\int_a^b v\,dt$ ذات الإشارة؛ المسافة الكلية هي $\int_a^b|v|\,dt$ — قسّم عند نقاط الانعطاف ($v=0$) وجمع القيم المطلقة.